2018-2019学年内蒙古赤峰市松山区高一（下）第一次月考数学试卷（理科）含详细解答

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1、1（5分）若，则sin4cos4的值为（）ABCD2（5分）函数ysin（x+）+cos（）的最大值为（）A2BCD13（5分）已知数列an是等比数列，其前n项和为Sn，S23a2，则（）ABC2D44（5分）若sin，是第二象限角，则sin（2+）（）ABCD5（5分）A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA，则这个三角形的形状为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D无法确定6（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂A55986B46656C

2、216D367（5分）已知等差数列an的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则（）A2B3C5D78（5分）在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若acosC+ccosA2bcosB，且cos2B+2sinAsinC1，则a2b+c（）ABC2D09（5分）函数y2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）ABCD210（5分）已知函数f（x）sinx+acosx（aR）图象的一条对称轴是，则a的值为（）A5BC3D11（5分）等差数列an中，a10，若其前n项和为Sn，且有S14S8，那么当Sn取最大值时，n的值为（）A8B9C10D1112（5分）已知数列

3、：；，；，；，；，则此数列的前2036项之和为（）A1024B2048C1018D1022二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）莱因德纸草书（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个所得成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份的量为   14（5分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，a，且ABC的面积为，则ABC的周长为   15（5分）在ABC中，A60，a6，b12，SABC18，则c   16（5分）数列an中，（n2，且nN*

4、），且a11，记数列an的前n项和为Sn，若3（Sn+n）4对任意的nN*恒成立，则实数的最大值   三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）ABC的内角A，C所对的边分别为a，b，c，且ABC的面积StanB（1）求B；（2）若a、b、c成等差数列，ABC的面积为，求b18（12分）一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息（1）到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？（2）如果每辆车的行驶速度都

5、是60km/h，这支车队当天一共行驶了多少路程？19（12分）如图，在ABC中，已知点D在边BC上，且DAC90，sinBAC，AB3，AD3（1）求BD长；（2）求cosC20（12分）已知公差不为零的等差数列an中，S216，且a1，a4，a5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求数列|an|的前n项和Tn21（12分）在亚丁湾海域执行护航任务的中国海军“徐州”舰，在A处收到某商船在航行中发出求救信号后，立即测出该商船在方位角（是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45、距离A处为10nmile的C处，并测得该船正沿方位角为105的方向，以9nmile/

6、h的速度航行，“徐州”舰立即以21nmile/h的速度航行前去营救（1）“徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船？（2）在营救时间最少的前提下，“徐州”舰应按照怎样的航行方向前进？（角度精确到0.1，时间精确到1min，参考数据：sin68.20.9286）22（12分）已知公差不为零的等差数列an中，a11，且a1，a2，a6成等比数列（I）求数列an的通项公式；（II）设数列bn满足：，求bn的前n项之和Sn；（III）设数列cn满足：，Tn为cn的前n项和，求证：2018-2019学年内蒙古赤峰二中高一（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分

7、，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若，则sin4cos4的值为（）ABCD【分析】由已知利用诱导公式求得cos2，展开平方差公式再由二倍角公式求sin4cos4的值【解答】解：由，得cos2，sin4cos4（sin2+cos2）（sin2cos2）cos2故选：D【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题2（5分）函数ysin（x+）+cos（）的最大值为（）A2BCD1【分析】由两角和差的正余弦公式得：ysin（x+）+cos（）2sin（x+），由三角函数的有界性得：2sin（x+）2，故函数的最大值为2，得

8、解【解答】解：ysin（x+）+cos（）2sin（x+），因为1sin（x+）1，所以2sin（x+）2，故函数的最大值为2，故选：A【点评】本题考查了两角和差的正余弦公式及三角函数的有界性，属简单题3（5分）已知数列an是等比数列，其前n项和为Sn，S23a2，则（）ABC2D4【分析】由S23a2，结合等比数列的定义可求q，然后结合等比数列的性质可求【解答】解：数列an是等比数列，S2a1+a23a2，a12a2，即q，则q2，故选：A【点评】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列定义的简单应用，属于基础试题4（5分）若sin，是第二象限角，则sin（2+）（）ABCD【分析】利用同角三

9、角函数基本关系以及三角函数的诱导公式化简求值【解答】解：由sin，是第二象限角，得则sin22sincos，cos2cos2sin2，sin（2+）故选：D【点评】本题考查利用三角函数的诱导公式化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题5（5分）A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA，则这个三角形的形状为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D无法确定【分析】利用sinA+cosA，两边平方可得，进而判断出A是钝角【解答】解：sinA+cosA，两边平方可得：，化为，A（0，），sinA0，cosA0A为钝角这个三角形是钝角三角形故选：B【点评】本题考查了三角函数的平方关

10、系和正弦余弦函数的单调性，属于基础题6（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂A55986B46656C216D36【分析】根据题意，第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，则数列an成等比数列根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有6646656只蜜蜂【解答】解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列an成等比数列，它的首项为6，公比q6所以an的通项公式：an66n1到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6665664

11、6656只蜜蜂故选：B【点评】本题以蜜蜂归巢为例，考查了等比数列的通项公式，属于基础题深刻理解等比数列模型，准确运用它的通项公式，是解决本题的关键所在7（5分）已知等差数列an的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则（）A2B3C5D7【分析】利用等差数列an的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，可得da1，即可求出【解答】解：等差数列an的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，a42a2a8，（a1+3d）2（a1+d）（a1+7d），d2a1d，d0，da1，3故选：B【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础8（5分）在AB

12、C中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若acosC+ccosA2bcosB，且cos2B+2sinAsinC1，则a2b+c（）ABC2D0【分析】由已知结合正弦定理可求cosB，进而可求B，然后结合三角形的内角和及和差角公式进行化简可求A，从而可得ABC为正三角形可求【解答】解：acosC+ccosA2bcosB，由正弦定理可得，sinAcosC+sinCcosA2sinBcosB，sin（A+C）2sinBcosBsinB，sinB0，cosB，0B，B，cos2B+2sinAsinC1，sinAsinC，sinAsin（），化简可得，sin（2A）1，ABC，ABC为正三角形，

13、则a2b+c0，故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式的综合应用，属于中档试题9（5分）函数y2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）ABCD2【分析】把函数式展开，可以看出要逆用正弦和余弦的二倍角公式，变为yAsin（x+）的形式，在定义域是全体实数的条件下，根据正弦的值域求本题的最值【解答】解：y2sinx（sinx+cosx）y2sin2x+2sinxcosxy1cos2x+sin2xsin（2x）+1当xR时，sin（2x）1，1y的最大值为+1，故选：A【点评】三角函数是高中一年级数学教学中的一个重要内容，公式繁多应用灵活给学生的学习带来了一定的困难为了学生掌握这一

14、单元的知识，必须使学生熟练的掌握所有公式，在此基础上并能灵活的运用公式10（5分）已知函数f（x）sinx+acosx（aR）图象的一条对称轴是，则a的值为（）A5BC3D【分析】利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过x，函数取得最值，求出a的值即可【解答】解：ysinx+acosxsin（x+），在对称轴x处取得最大值或最小值，sin，解可得，a，故选：D【点评】本题是中档题，考查三角函数辅助角公式的应用，注意函数的对称轴就是函数取得最值，考查计算能力11（5分）等差数列an中，a10，若其前n项和为Sn，且有S14S8，那么当Sn取最大值时，n的值为（）A8B9C10D1

15、1【分析】根据 S14S8，可得a9+a10+a140，故有a11+a120再由 a10，可得d0，故a110，a120，可得S11最大【解答】解：S14S8，a9+a10+a140，a11+a120再由 a10，d0，故a110，a120，S11最大故选：D【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，数列的函数特性，属于基础题12（5分）已知数列：；，；，；，；，则此数列的前2036项之和为（）A1024B2048C1018D1022【分析】将此数列分组：第一组：；第二组：+；第三组：+，以此类推可得第n组：+由（21）+（221）+（2n1）2036，即2n+1

16、2n2036，解得n即可得出【解答】解：将此数列分组：第一组：；第二组：+；第三组：+，第n组：+由（21）+（221）+（2n1）2036，即2n+12n2036，解得n10则此数列的前2036项之和为+1018故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）莱因德纸草书（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个所得成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份的量为【分析】由每一个人分得的面包

17、成等差数列设出各项，分别根据等差数列的前5项之和等于100，最大的三份之和的是较小的两份之和列出两个方程，联立即可求出最小1份的量【解答】解：设每个人由少到多的顺序得到面包分别为a1，a2，a3，a4，a5，因为每个所得的面包成等差数列设公差为d，则有1005a1+10d；又最大的三份之和的是较小的两份之和得到：较小的两份之和a1+a22a1+d100联立解得a1故答案为【点评】本题为一道中档题，要求学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式进行化简求值此题的突破点在于设出等差数列14（5分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，a，且ABC的面积为，则ABC的周长为5+

18、【分析】由题意得：解得b+c5，得a+b+c5+【解答】解：由题意得：解得：b+c5，a+b+c5+即ABC的周长为5+故答案为：5+【点评】本题考查ABC的周长的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用属基础题15（5分）在ABC中，A60，a6，b12，SABC18，则c6【分析】利用三角形面积计算公式及其正弦定理即可得出【解答】解：SABC1812sinC，解得sinCc6故答案为：6【点评】本题考查了三角形面积计算公式及其正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）数列an中，（n2，且nN*），且a11，记数列an的前n项和为Sn，若3（Sn+n）4对任意的nN*恒成立，则

19、实数的最大值【分析】由已知可得数列an+1是以2为首项，以为公比的等比数列，求其通项公式，得到数列an的前n项和为Sn，代入3（Sn+n）4，分离参数求解【解答】解：由，得，a11，数列an+1是以2为首项，以为公比的等比数列，则Sna1+a2+a3+an由3（Sn+n）4，得，当n1时，有最小值为即实数的最大值为故答案为：【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查数列的函数特性，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）ABC的内角A，C所对的边分别为a，b，c，且ABC的面积StanB（1）求B；（2）若a、b、c成等差数

20、列，ABC的面积为，求b【分析】（1）StanBsinB可得cosB，0B，解得B（2）由a、b、c成等差数列，可得2ba+c，两边同时平方得：a2+c24b22ac，又由Sac，可得ac6，a2+c24b212，由余弦定理得，cosB，即可得出【解答】解：（1）StanBsinB，cosB，0B，B（2）a、b、c成等差数列，2ba+c，两边同时平方得：a2+c24b22ac，又由（1）可知：BSac，ac6，a2+c24b212，由余弦定理得，cosB，解得：b+1【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）一支车队有1

21、5辆车，某天依次出发执行任务第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息（1）到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？（2）如果每辆车的行驶速度都是60km/h，这支车队当天一共行驶了多少路程？【分析】（1）根据条件求出时间间隔，即可即可到下午6时，最后一辆车行驶了的时间（2）每辆车行驶的时间为：an，则结合等差数列的求和公式进行计算即可【解答】解：（1）第一辆车出发时间为下午2时，每隔10分钟小时出发一辆则第15辆车在14小时，最后一辆车出发时间为：2+小时第15辆车行驶时间为：6小时（1时40分

22、）         5分（2）设每辆车行驶的时间为：an，由题意得到an是以a14为首项，d为公差的等差数列则行驶的总时间为：Sn154+（）10分则行驶的总里程为：S602550（km）【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用等差数列的性质是解决本题的关键19（12分）如图，在ABC中，已知点D在边BC上，且DAC90，sinBAC，AB3，AD3（1）求BD长；（2）求cosC【分析】（1）由已知利用诱导公式可求cosBAD的值，利用余弦定理即可计算BD的长（2）由（1）可求cosBAD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinBAD，由正弦定理可求

23、sinADB的值，根据诱导公式可求cosC的值【解答】（本小题满分12分）解：（1）DAC90，sinBACsin（+BAD）cosBAD，cosBAD，（2分）在ABD中，由余弦定理得，BD2AB2+AD22ABADcosBAD，（4分）即BD218+923，得BD（6分）（2）由cosBAD，得sinBAD，（8分）在ABD中，由正弦定理，得：sinADB，（10分）ADBDAC+C+C，cosC（12分）【点评】本题主要考查了诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20（12分）已知公差不为

24、零的等差数列an中，S216，且a1，a4，a5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求数列|an|的前n项和Tn【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出首项与公差，然后求解通项公式（2）当n5时，去掉绝对值符号，求解数列的和当n6时，去掉绝对值符号，然后求解数列的和即可【解答】（12分）解：（1）由S216，a1，a4，a5成等比数列，得，解得所以等差数列an的通项公式为an112n（nN*）（6分）（2）当n5时，Tn|a1|+|a2|+|an|a1+a2+anSnn2+10n当n6时，Tn|a1|+|a2|+|an|a1+a2+a5a6a7an2S5Sn2（52+105）（n2+

25、10n）n210n+50，故Tn（12分）【点评】本题考查数列求和，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力21（12分）在亚丁湾海域执行护航任务的中国海军“徐州”舰，在A处收到某商船在航行中发出求救信号后，立即测出该商船在方位角（是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45、距离A处为10nmile的C处，并测得该船正沿方位角为105的方向，以9nmile/h的速度航行，“徐州”舰立即以21nmile/h的速度航行前去营救（1）“徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船？（2）在营救时间最少的前提下，“徐州”舰应按照怎样的航行方向前进？（角度精确到0.1，时间精确到1m

26、in，参考数据：sin68.20.9286）【分析】（1）由题知舰艇沿直线航行时所需时间最少，设舰艇在B处靠近商船，从A处到靠近商船所用的时间为x h利用AB2AC2+BC22ACBCcos120，转化求解即可（2）由（1）知，求出BAC的余弦函数值，即可得到结论【解答】解：（1）由题知舰艇沿直线航行时所需时间最少，设舰艇在B处靠近商船，从A处到靠近商船所用的时间为x h又ACB1+245+（180105）120，根据余弦定理，可得AB2AC2+BC22ACBCcos120，即（21x）2102+（9x）22109xcos120，即36x29x100，解得，（舍去）故“徐州”舰最少需要40mi

27、n才能靠近商船（2）由（1）知，由余弦定理可得，BAC21.8，故“徐州”舰前进的方位角约为45+21.866.8【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知公差不为零的等差数列an中，a11，且a1，a2，a6成等比数列（I）求数列an的通项公式；（II）设数列bn满足：，求bn的前n项之和Sn；（III）设数列cn满足：，Tn为cn的前n项和，求证：【分析】（I）根据a1，a2，a6成等比数列利用通项即可建立关系求解数列an的通项公式；（II）根据，利用错位相减法即可求bn的前n项之和Sn；（III）根据，裂项相消法即可求解Tn，从而可以证明求：【解答】解：（I）由an是等差数列，a1，a2，a6成等比数列可得（a1+d）2a1（a1+d）a11，d3；an3n2（II）由（3n2）2n可得和Snb1+b2+bn121+422+723（3n2）2n，那么：2Sn122+423+（3n2）2n+1，由解得：；（III）由Tnc1+c2+cn，【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用错位相减法和裂项相消法是解决本题的关键