高考数学二轮复习抛物线学案（含解析）

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1、抛物线考向一：抛物线定义抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，注意在解题中利用两者之间相互转化。1、(2016浙江高考)若抛物线y24x上的点M到焦点F的距离为10，则M到y轴的距离是_解析设M(x0，y0)，由抛物线的方程知焦点F(1,0)根据抛物线的定义得|MF|x0110，x09，即点M到y轴的距离为9.条件探究：将条件变为“在抛物线上找一点M，使|MA|MF|最小，其中A(3,2)”求点M的坐标及此时的最小值解如图，点A在抛物线y24x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|MF|MA|MH|，其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|

2、MA|MF|MA|MH|AB|4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立此时点M的坐标为(1,2)2、2015全国，10已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|()A B C3 D2解析过点Q作QQl交l于点Q，因为4，所以|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|QQ|33、2017全国，16已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.解析：不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知

3、，F(2，0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.考向二：抛物线的标准方程与几何性质1、2016全国，10以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8答案B解析不妨设C：y22px(p0)，A(x1，2)，则x1，由题意可知|OA|OD|，得2825，解得p4.故选B.2、【2019年高考全国卷理数】若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A2 B

4、3 C4 D8【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D考向三：直线与抛物线的综合问题1、2018全国，8设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6 C7 D8解析根据题意，过点(2,0)且斜率为的直线方程为y(x2)，与抛物线方程联立消去x并整理，得y26y80，解得M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，从而可以求得03248，故选D.条件探究：将条件变为过点(2,0)的直线与C交于M，N两点，求的范围？根据题意，直线的斜率存在且不为零，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，设直线方程为

5、y=k（x+2），与抛物线方程联立得ky2-4y+8k=0，y1+y2=4k，y1y2=8(x1-1，y1)x2-1，y2=x1x2-x1+x2+1+y1y2=y124y224-y124+y224+1+y1y2=y124y224-(y1+y2)2-2y1y24+1+y1y2 =17-4k2因为=16-32k20，0k212，的范围为-，92、2017全国，10已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10解析因为F为y24x的焦点，所以F(1，0)由题意直

6、线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2 +2.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)4 （11k2）84（k2）84216，当且仅当k2，即k1时，取得等号故选A.3、2018全国，16已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.答案2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4x14x2，所以k.取AB的

7、中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B.因为AMB90，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)因为M为AB的中点，所以MM平行于x轴因为M(1,1)，所以y01，则y1y22，所以k2.4、【2019年高考全国卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【解析】设直线（1） 由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故5、2017北京卷，18已知抛物线C：y22px过点P(1，

8、1)过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解(1)由抛物线C：y22px过点P(1，1)，得p.所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10，则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10，所以y12x1，故A为线段BM的中点6