1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 学案（含答案）

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1、1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征学习目标1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构和有关计算知识点一多面体多面体的有关概念(1)多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体(2)多面体的相关概念面：围成多面体的各个多边形棱：相邻的两个面的公共边顶点：棱和棱的公共点对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)(3)凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸

2、多面体知识点二棱柱1棱柱的定义及表示名称棱柱特征性质或定义条件：有两个互相平行的面；夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行图形表示及相关名称棱柱ABCDEABCDE(或棱柱AC)2.棱柱的分类(1)按底面多边形的边数棱柱(2)按侧棱与底面是否垂直棱柱(3)特殊的四棱柱知识点三棱锥1棱锥的定义及表示名称棱锥特征性质或定义条件：有一个面是多边形；其余各面都是有一个公共顶点的三角形图形表示及相关名称棱锥SABCD(或棱锥SAC)2.棱锥的分类(1)按底面多边形的边数棱锥(2)特殊的棱锥正棱锥知识点四棱台1棱台的结构特征及分类名称定义图形及表示相关概念分类棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截

3、面和底面间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCABC上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其他各面侧棱：相邻两侧面的公共边高：两底面间的距离由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台2.特殊的棱台正棱台：由正棱锥截得的棱台1棱柱的侧面都是平行四边形()2有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥()3夹在两个平行的平面之间，其余面都是梯形，这样的几何体一定是棱台()题型一棱柱、棱锥、棱台的有关概念例1(1)下列关于棱柱的说法：所有的面都是平行四边形；每一个面都不会是三角形；两底面平行，并且各侧棱也平行；被平面截成的两部分可以都是棱柱其中正确的说法的序号是_

4、答案解析错误，棱柱的底面不一定是平行四边形错误，棱柱的底面可以是三角形正确，由棱柱的定义易知正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是.(2)下列说法正确的序号是_棱锥的侧面不一定是三角形；棱锥的各侧棱长一定相等；棱台的各侧棱的延长线交于一点；有两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台答案解析棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，正确；棱台的各条侧棱必须交于一点，故不正确反思感悟棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1)棱柱有两个主要结构特征：一是有两个面互相平行，

5、二是各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形(2)棱锥有两个主要结构特征：一是有一个面是多边形，二是其余各面都是有一个公共顶点的三角形(3)棱台的上、下底面平行且相似，各侧棱延长交于一点跟踪训练1(1)下列命题中正确的是()A有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形答案D(2)下列关于棱锥、棱台的说法：棱台的侧面一定不会是平行四边形；由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥其中正确说法的序号是_考点棱锥的结构特征题点棱锥的结构特征的应用答

6、案解析正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥题型二简单几何体中的计算问题例2正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高解作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作ODAB于点D，则点D为AB的中点在RtADO中，AD，OAD30，故AO.在RtSAO中，SA2，AO，故SO3，故三棱锥的高为3.引申探究1若本例条件不变，求正三棱锥的斜高解作出正三棱锥如图，取AB的中点E，连接SE，则SE为该正三棱锥的斜高，在SAE中，SA2，AE，所以SE. 2若将本例中“正三棱锥”改为“正四棱锥”，其

7、他条件不变，求正四棱锥的高解如图，在正四棱锥SABCD中，ABBCCDDA3，AC3，所以OC.在RtSOC中，SC2，所以SO.即正四棱锥的高为.反思感悟(1)正棱锥中直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高为PO，底面为正方形，作PECD于点E，则PE为斜高斜高、侧棱为直角三角形两条边，如图中RtPEC；斜高、高为直角三角形两条边，如图中RtPOE；侧棱、高为直角三角形两条边，如图中RtPOC.(2)正棱台中直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上，下底面中心，作O1E1B1C1于点E1，OEBC于点E，则E1E为斜高斜高、侧棱为直角梯形两条边，如图中

8、梯形E1ECC1；斜高、高为直角梯形两条边，如图中梯形O1E1EO；高、侧棱为直角梯形两条边，如图中梯形O1OCC1.跟踪训练2已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长解如图，设O，O分别为上、下底面的中心，即OO为正四棱台的高，E，F分别为BC，BC的中点，EFBC，即EF为斜高由上底面面积为4，上底面为正方形，可得 BC2；同理，BC4.四边形BCCB的面积为12, (24)EF12，EF4.过B作BHBC交BC于H，则BHBFBE211，BHEF4.在RtBBH中，BB.同理，在直角梯形OOFE中，计算出OO.综上，该正四棱台的侧棱长为

9、，斜高为4，高为.题型三多面体的展开图例3如图，在侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，求截面AEF周长的最小值解沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内，如图则AA的长即为截面AEF周长的最小值，且AVA340120.在VAA中，AA226，故截面AEF周长的最小值为6.反思感悟求几何体表面上两点间的最小距离(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题(3)结合已知条件求得结果跟踪训练3如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA12，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1

10、的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为()A2 B2 C4 D4答案B解析沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1B(如图)由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经过M到达C1的路线最短所以最短路线长为BC12.1下面多面体中，是棱柱的有()A1个 B2个 C3个 D4个考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案D解析根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足2下面图形中，为棱锥的是()A B C D答案C解析根据棱锥的定义和结构特征可以判断，是棱锥，不是棱锥，是棱锥故选C.3下列说法中，正确的是()A有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由

11、这些面所围成的几何体是棱锥B用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形答案A解析B错，截面与底面平行时才能得棱台；C错，棱柱底面可能是平行四边形；D错，棱柱侧面的平行四边形不一定全等，如长方体4一个棱台至少有_个面，面数最少的棱台有_个顶点，有_条棱答案5695正四棱锥SABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，求截面面积解ACa，由SASCa，则有SA2SC2AC2，ASC90.所以SSACaaa2.1在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状

12、2(1)各种棱柱之间的关系棱柱的分类棱柱常见的几种四棱柱之间的转化关系(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：名称底面侧面侧棱高平行于底面的截面棱柱斜棱柱平行且全等的两个多边形平行四边形平行且相等与底面全等直棱柱平行且全等的两个多边形矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等正棱柱平行且全等的两个正多边形全等的矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等棱锥正棱锥一个正多边形全等的等腰三角形有一个公共顶点且相等过底面中心与底面相似其他棱锥一个多边形三角形有一个公共顶点与底面相似棱台正棱台平行且相似的两个正多边形全等的等腰梯形相等且延长后交于一点与底面相似其他棱台平行且相似的两个多边形梯形延长后交于一点与底面相似