1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 学案（含答案）

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1、1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学习目标1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图.2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积.3.掌握球的表面积公式并会求球的表面积知识点直棱柱、正棱锥、正棱台和旋转体的表面积几何体侧面积公式表面积(全面积)直棱柱S直棱柱侧ch棱柱、棱锥、棱台的表面积侧面积底面积正棱锥S正棱锥侧ch正棱台S正棱台侧(cc)h圆柱S圆柱侧2Rh圆锥S圆锥侧Rl球S球4R2其中c，c分别表示上、下底面周长，h表示高，h表示斜高，R表示球的半径1多面体的表面积等于各个面的面积之和()2圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周

2、长有关()3球的表面积等于它的大圆面积的2倍()题型一柱、锥、台的侧(表)面积命题角度1多面体的侧(表)面积例1现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积解如图，设底面对角线ACa，BDb，交点为O，对角线A1C15，B1D9，a252152，b25292，a2200，b256.该直四棱柱的底面是菱形，AB22264，AB8.直四棱柱的侧面积为485160.反思感悟多面体表面积的求解方法(1)棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是求斜高和底面周长(2)斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构

3、成直角三角形(或梯形)，利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键跟踪训练1(1)已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是()A2 B. C3 D.答案A解析如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，连接OE，O1E1，作E1HO1O，由题意，得4936，EE1，在RtEHE1中，E1H2EEEH24，E1H2，O1O2，故选A.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是_答案7解析图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为

4、1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，表面积S表2S底S侧(12)12(112)17.命题角度2圆柱与圆锥的侧(表)面积例2(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3 B4 C24 D34答案D解析由三视图可知，原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为S212212222434.(2)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等若圆柱的底面半径为r，圆柱的侧面积为S，求圆锥的侧面积解设圆柱的高为h，则2rhS，h.设圆锥的母线为l，l .圆锥的侧面积为rlr .反思感悟由圆柱、圆锥的侧面积公式可知，要求其侧面积，必须已知(或能求出)它的底面圆的半径和它的母线长跟踪

5、训练2轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A4倍 B3倍 C.倍 D2倍答案D解析设圆锥底面半径为r，由题意知母线长l2r，则S侧r2r2r2，2.题型二简单组合体的表面积例3(1)如图是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 千克，问需要油漆多少千克？(尺寸如图，单位：米，取3.14，结果精确到0.01 千克)解建筑物为一组合体，上面是底面半径为3米，母线长为5米的圆锥，下面是底面边长为3米，高为4米的正四棱柱圆锥的表面积为r2rl3.14323.143528.2647.175.36(平方米)四棱柱的一个底面积为329(平方米)，四

6、棱柱的侧面积为44348(平方米)所以外壁面积S75.36948114.36(平方米)故需油漆114.360.222.87222.88(千克)答共需约22.88千克油漆(2)已知在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内，过点C作lCB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积解由题意，线段AB旋转一周形成圆柱的侧面，线段CB旋转一周形成圆C，线段CD旋转一周形成圆锥的侧面，线段AD旋转一周形成一个圆环，DCB60，圆锥的底面半径为ra，母线l2a，高为a，旋转体的表面积SS圆柱侧S圆CS圆锥侧S圆环22aa(2a)2a2a(2a)2a2(9

7、4)a2.反思感悟求组合体表面积的三个基本步骤(1)要弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么(2)根据组合体的组成形式设计计算思路(3)根据公式计算求值跟踪训练3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_答案38解析如图所示，该几何体是长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分S表(413431)221121238.题型三球的表面积例4有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，

8、经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r1a，r1，所以S14ra2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图，2r2a，r2a，所以S24r2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2.综上可得S1S2S3123.反思感悟(1)在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解(2)球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解跟踪训练4已知H是球O的直径AB

9、上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，求球O的表面积解如图，设球O的半径为R，则由AHHB12，得HA2RR，OH.截面面积为(HM)2，HM1.在RtHMO中，OM2OH2HM2，R2R2HM2R21，R.S球4R242.1已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为()A22 B20 C10 D11答案A解析所求长方体的表面积S2(12)2(13)2(23)22.2若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A12 B1 C1 D.2答案C解析设圆锥底面半径为r，则高h2r，其母线长lr，S侧rlr2，S底r2，S底S侧1

10、.3已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为()A9 B9 C12 D12答案D解析由侧视图可知三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，设底面正三角形的边长为a，由a3，解得a2.所以侧棱长为2，所以正三棱锥是正四面体，所以该三棱锥的表面积为42312.4正方体的表面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是()A. B. C2a2 D3a2答案B解析设正方体的棱长为x，球的半径为R.由题可知6x2a2.正方体的体对角线恰为球的直径，2Rx，即Rx，S球4R2423x2.5一个高为2的圆柱，底面周长为2，则该圆柱的表面积为_答案6解析设圆柱的底面半径为r，高为h.由2r2得r1，S圆柱表2r22rh246.1多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和棱柱的表面积等于它的侧面积加两个底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积2有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.