1.2.2 第3课时 平面与平面平行 学案（含答案）

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1、第3课时平面与平面平行学习目标1.掌握平面与平面的位置关系，会判断平面与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示平面间的位置关系.3.掌握空间中面面平行的判定定理及性质定理，并能应用这两个定理解决问题知识点一平面与平面平行的判定平面平行的判定定理及推论判定定理推论文字语言如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行符号语言l，m，l，m，lmAac，bd，abA，a，b，c，d图形语言知识点二平面与平面平行的性质平面平行的性质定理及推论性质定理推论文字语言如果两个平行平面同时与第三个平面相

2、交，那么它们的交线平行两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例符号语言，a，bab，mA，mB，mC，nE，nF，nG图形语言1若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行()2若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行()3若平面平面，l平面，m平面，则lm.()4已知两个平面平行，若有第三个平面与其中的一个平面平行，那么它与另一平面也平行()题型一平面与平面平行的判定例1如图，在四棱锥PABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DCAB，求证：平面PAB平面EFG.证明E，G分别是PC，BC的中点，EGPB，又EG平面PAB

3、，PB平面PAB，EG平面PAB，E，F分别是PC，PD的中点，EFCD，又ABCD，EFAB，EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB，又EFEGE，平面EFG平面PAB.反思感悟判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线(3)转化为线线平行：平面内的两条相交直线与平面内的两条直线分别平行，则.(4)利用平行平面的传递性：若，则.跟踪训练1如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F

4、，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是A1B1C1的中位线，所以GHB1C1.又因为B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四点共面(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EFBC.因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.因为A1GEB，A1GEB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1EGB.因为A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.因为A1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.题型二面面

5、平行性质的应用命题角度1与面面平行性质有关的计算例2如图，平面，A，C，B，D，直线AB与CD交于S，且AS8，BS9，CD34，求CS的长证明设AB，CD共面，因为AC，BD，且，所以ACBD，所以SACSBD，所以，即，所以SC272.引申探究若将本例改为：点S在平面，之间(如图)，其他条件不变，求CS的长解设AB，CD共面，AC，BD.因为，所以AC与BD无公共点，所以ACBD，所以ACSBDS，所以.设CSx，则，所以x16，即CS16.反思感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2如图所示，平面平面，ABC，ABC分别在，内，线段AA，BB，CC共点于O，O在平面和平面之间，

6、若AB2，AC2，BAC60，OAOA32，求ABC的面积解AA，BB相交于O，所以AA，BB确定的平面与平面，平面的交线分别为AB，AB，有ABAB，且，同理可得，所以ABC，ABC面积的比为94，又ABC的面积为，所以ABC的面积为.命题角度2利用面面平行证明线线平行例3如图所示，已知三棱柱ABCABC中，D是BC的中点，D是BC的中点，设平面ADB平面ABCa，平面ADC平面ABCb.求证：ab.证明平面ABC平面ABC，平面ADB平面ABCa，平面ADB平面ABCAD，aAD，又平面ADC平面ABCb，平面ADC平面ABCAD，bAD，又AABBDD且AABBDD，四边形ADDA是平行

7、四边形，ADAD，ab.反思感悟利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由定理得出结论跟踪训练3如图，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形证明如图，连接AC，BD，交点为O，连接A1C1，B1D1，交点为O1，连接BD1，EF，OO1，设OO1的中点为M，由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点

8、M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M，所以E，B，F，D1四点共面又因为平面ADD1A1平面BCC1B1，平面EBFD1平面ADD1A1ED1，平面EBFD1平面BCC1B1BF，所以ED1BF.同理，EBD1F.所以四边形BED1F是平行四边形题型三平行关系的综合应用例4如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点(1)求证：PQ平面DCC1D1；(2)求证：EF平面BB1D1D.考点平行的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化证明(1)如图，连接AC，CD1.因为ABCD是正方

9、形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，所以PQCD1.又PQ平面DCC1D1，CD1平面DCC1D1，所以PQ平面DCC1D1.(2)方法一取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1B1C1且FO1B1C1.又BEB1C1且BEB1C1，所以BEFO1，BEFO1.所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EFBO1，又EF平面BB1D1D，BO1平面BB1D1D，所以EF平面BB1D1D.方法二取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1B1D1，EE1BB1，且FE1EE1E1，FE1，EE1平面EE1F，B1D1，BB1平面BB1D1D，所以平面EE

10、1F平面BB1D1D.又EF平面EE1F，所以EF平面BB1D1D.反思感悟(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化，转化思想是解决这类问题的最有效的方法跟踪训练4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，BCAD，E为侧棱PD的中点，且BC2，AD4，求证：CE平面PAB.证明取AD的中点O，连接OC，OE.E为侧棱PD的中点，OEPA，OE平面PAB，PA平面PAB，OE平面PAB.BC2，AD4，BCAD，四边形A

11、BCO为平行四边形，OCAB，又OC平面PAB，AB平面PAB，OC平面PAB.OCOEO，OC，OE平面OCE，平面OCE平面PAB.CE平面OCE，CE平面PAB.几何中的计算问题典例如图，平面平面平面，两条异面直线a，b分别与平面，相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC15 cm，DE5 cm，ABBC13，求AB，BC，EF的长考点平面与平面平行的性质题点与面面平行性质有关的计算解如图所示连接AF，交于点G，连接BG，EG，则点A，B，C，G共面，平面ACFBG，平面ACFCF，BGCF，ABG ACF，同理，有ADGE，.又，ABAC cm，BCAC cm.EF3DE3515 c

12、m.素养评析(1)利用平面与平面平行的性质定理，借助于学生比较熟悉的异面直线，平面与平面平行，直线与平面平行，经过论证，表述，得出结论，培养了逻辑推理的数学核心素养(2)理解运算对象，借助三角形相似求得运算结果，充分体现了数学运算的数学核心素养1下列命题中正确的是()A一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C平行于同一直线的两个平面一定相互平行D如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行答案B解析如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确2.

13、在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是()A平面E1FG1与平面EGH1B平面FHG1与平面F1H1GC平面F1H1H与平面FHE1D平面E1HG1与平面EH1G答案A解析如图，EGE1G1，EG平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，EG平面E1FG1.又G1FH1E，同理可证H1E平面E1FG1，又H1EEGE，平面E1FG1EGH1.3已知长方体ABCDABCD，平面平面ABCDEF，平面平面ABCDEF，则EF与EF的位置关系是()A平行 B相交 C异面 D不确定考点平面与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案A解析由面面平行的性质定理易得4若平面平面，a

14、，下列说法正确的是_(填序号)a与内任一直线平行；a与内无数条直线平行；a与内任一直线不垂直；a与无公共点答案解析a，a，a与无公共点，正确；如图，在正方体中，令线段B1C1所在的直线为a，显然a与内无数条直线平行，故正确；又ABB1C1，故在内存在直线与a垂直，故错误5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN.求证：MN平面AA1B1B.证明如图，作MPBB1交BC于点P，连接NP，MPBB1，.BDB1C，DNCM，B1MBN，NPCDAB.NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，NP平面AA1B1B.MPBB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，MP平面AA1B1B.又MP平面MNP，NP平面MNP，MPNPP，平面MNP平面AA1B1B.MN平面MNP，MN平面AA1B1B.1常用的平面与平面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行2空间中各种平行关系相互转化关系的示意图