1.2.3 第2课时 平面与平面垂直 学案（含答案）

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1、第2课时平面与平面垂直学习目标1.理解面面垂直的定义，并能画出面面垂直的图形.2.掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能进行空间垂直的相互转化.3.掌握面面垂直的证明方法，并能在几何体中应用知识点一平面与平面垂直的定义1条件：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直2结论：两个平面互相垂直3记法：平面，互相垂直，记作.知识点二平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直图形语言符号语言a，a知识点三平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面

2、内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，CD，BA，BACD，B为垂足BA1若l，则过l有无数个平面与垂直()2若平面平面，任取直线l，则必有l.()3已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面()题型一面面垂直的判定例1如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上，求证：平面AEC平面PDB.证明设ACBDO，连接OE，ACBD，ACPD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.反思感悟应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤跟踪训练1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂

3、直底面，ACB90，ACAA1，D是棱AA1的中点证明：平面BDC1平面BDC.证明由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，所以平面BDC1平面BDC.题型二面面垂直的性质定理及应用例2如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.证明如图，在平面PAB内，作ADPB于D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA

4、平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.反思感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直(2)直线必须在其中一个平面内(3)直线必须垂直于它们的交线跟踪训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点求证：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.证明(1)平面PAD平面AB

5、CD，平面PAD平面ABCDAD，又四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，BGAD.BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD.又BGPGG，AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB.题型三垂直关系的综合应用例3如图所示，ABC为正三角形，CE平面ABC，BDCE，且CEAC2BD，M，N分别是AE，AC的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面BDMN平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.证明(1)取CE的中点F，连接DF，易知DFBC，因为CE平面ABC，所以CEBC，所以CEDF.因为BDCE，所以BD平面ABC，所以BDAB.在RtEFD和RtDBA中，因为E

6、FCEDB，DFBCAB，所以RtEFDRtDBA，所以DEDA.(2)因为EC平面ABC，所以ECBN，因为ABC为正三角形，所以BNAC.因为ECACC，所以BN平面ECA.又因为BN平面BDMN，所以平面BDMN平面ECA.(3)因为M，N分别是AE，AC的中点，所以MNCE且MNCE，又因为BDCE且BDCE，所以MNBD且MNBD，所以四边形MNBD是平行四边形，所以DMBN，由(2)知BN平面ECA，所以DM平面ECA.又因为DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.反思感悟在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一

7、垂直，最终达到目的，其转化关系如下：跟踪训练3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD.(2)ABCD，ABAD，CD2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BEAD.又AD平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD.(3)在平行四边形ABED中，由ABAD可得，ABED为矩形，故有B

8、ECD.由PA平面ABCD，可得PAAB，再由ABAD可得AB平面PAD，CD平面PAD，故有CDPD.再由E，F分别为CD和PC的中点，可得EFPD，CDEF.而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD平面BEF.由于CD平面PCD，平面BEF平面PCD.图形的折叠问题典例如图所示，在矩形ABCD中，已知ABAD，E是AD的中点，沿BE将ABE折起至ABE的位置，使ACAD，求证：平面ABE平面BCDE.证明取BE的中点N，CD的中点M，ABAD，E是AD的中点，ABAE，即ABAE.ANBE.ACAD，AMCD.在四边形BCDE中，CDMN，又MNAMM，CD平面AMN，CDAN.

9、DEBC且DEBC，BE必与CD相交，又ANBE，ANCD，AN平面BCDE.又AN平面ABE，平面ABE平面BCDE.素养评析(1)折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量(2)折叠问题要借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，理解所要解决的数学问题，对于平面与平面垂直问题的证明，要有理有据，有逻辑地表达出来，所以，本题充分体现直观想象与逻辑推理的数学核心素养1过平面外两点且垂直于平面的平面()A有且只有一个 B有一个或两个C有且仅有两个 D有一个或无数个答案D2如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，

10、则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B它们两两垂直C平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直答案A解析PA平面ABCD，PABC.又BCAB，PAABA，BC平面PAB，BC平面PBC，平面PBC平面PAB.由ADPA，ADAB，PAABA，得AD平面PAB.AD平面PAD，平面PAD平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.3如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么D在面ABC内的正投影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部答案A

11、解析在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，ABBDB，AC平面ABD.又AC平面ABC，平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，D在面ABC内的射影H必在AB上故选A.4.如图所示，已知AF平面ABCD，DE平面ABCD，且AFDE，AD6，则EF_.答案6解析AF平面ABCD，DE平面ABCD，AFDE.又AFDE，四边形AFED为平行四边形，故EFAD6.5如图所示，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC平面ABCD，E为SA的中点求证：平面EBD平面ABCD.证明连接AC与BD交于O点，连接OE.O为AC的中点，E为SA的中点，EOSC.SC平面ABCD，EO平面ABCD.又EO平面EBD，平面EBD平面ABCD.1面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：2运用平面垂直的性质定理时，一般需要作铺助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.