2.4.1 空间直角坐标系 学案(含答案)
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1、2.4空间直角坐标系24.1空间直角坐标系学习目标1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标知识点空间直角坐标系1空间直角坐标系(1)定义:为了确定空间点的位置,我们在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直;轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90能与y轴的正半轴重合这时,我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点(2)坐标平面:每两条坐标轴分别确定的平面yOz,xOz,xOy,叫做坐标平面(3)卦限:三个坐标平
2、面把空间分为八部分,每一部分都称为一个卦限2空间中点的坐标过点P作一个平面平行于平面yOz(垂直于x轴),这个平面与x轴的交点记为Px,它在x轴上的坐标为x,这个数x就叫做点P的x坐标过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y轴),这个平面与y轴的交点记为Py,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点P的y坐标过点P作一个平面平行于平面xOy(垂直于z轴),这个平面与z轴的交点记为Pz,它在z轴上的坐标为z,这个数z就叫做点P的z坐标这样,我们对空间中的一个点,定义了三个实数的有序数组作为它的坐标,记作P(x,y,z)其中x,y,z也可称为点P的坐标分量1空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定
3、是(0,b,c)的形式()2空间直角坐标系中,在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0,c)的形式()3关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变,横坐标相反()4空间直角坐标系中,点(1,2)关于yOz平面的对称点为(1,2)()题型一确定空间中任意一点的坐标例1已知棱长为2的正方体ABCDABCD,建立如图所示不同的空间直角坐标系,试分别写出正方体各顶点的坐标解对于图,因为点D是坐标原点,A,C,D分别在x轴,y轴,z轴的正半轴上又正方体的棱长为2,所以D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2)因为点B在xDy平面上,它在x轴,y轴上的投影分别为A,C,所
4、以B(2,2,0)同理,A(2,0,2),C(0,2,2)因为B在xDy平面上的投影是B,在z轴上的投影是D,所以B(2,2,2)对于图,A,B,C,D都在xDy平面的下方,所以其z坐标都为负,A,B,C,D都在xDy平面上,所以其z坐标都为零因为D是坐标原点,A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,D在z轴的负半轴上,且正方体的棱长为2,所以D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2)同,得B(2,2,0),A(2,0,2),C(0,2,2),B(2,2,2)反思感悟(1)建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的点落在坐标轴上(
5、2)对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系;确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这也是求空间点坐标的关键跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且|CG|CD|,H为C1G的中点,试建立适当的坐标系,写出E,F,G,H的坐标解建立如图所示的空间直角坐标系点E在z轴上,它的横坐标、纵坐标均为0,而E为DD1的中点,故其坐标为.过F作FMAD,FNDC,由平面几何知识,得|FM|,|FN|,故F点坐标为.点G在y轴上
6、,其x,z坐标均为0,又|DG|,故点G坐标为,过点H作HKCG于K,由于H为C1G的中点,故K为CG的中点,即点H的坐标为.题型二空间中点的位置的确定例2在空间直角坐标系Oxyz中,作出点P(5,4,6)解方法一第一步:从原点出发沿x轴正方向移动5个单位第二步:沿与y轴平行的方向向右移动4个单位第三步:沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示),即得点P.方法二以O为顶点构造长方体,使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴,y轴,z轴的正半轴上,且棱长分别为5,4,6,则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.反思感悟已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法,将原点按坐标轴方向三
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