2.4.2 空间两点的距离公式 学案（含答案）

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1、24.2空间两点的距离公式学习目标1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离知识点空间两点的距离1在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点A(x，y，z)到原点间O的距离公式为d(O，A)|OA|.2空间中A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离公式是d(A，B)|AB|.题型一求空间两点间的距离例1如图，正方体OABCDABC的棱长为a，|AN|2|CN|，|BM|2|MC|，求MN的长解建立如图所示空间直角坐标系，过点M作MF垂直BC于F，连接NF，显然MF垂直平面ABCO，所以MF垂直NF，因为|BM|2|MC|.所以

2、|BF|2|FC|.又|AN|2|CN|，所以NFAB，所以|NF|FC|AB|.同理|MF|CC|，因此，得点N的坐标为，点M的坐标为，于是|MN|a.反思感悟在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用跟踪训练1如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度解以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所

3、示的空间直角坐标系|C1C|CB|CA|2，C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，|DE|，|EF|.题型二空间两点的距离公式的应用命题角度1求空间点的坐标例2已知点A(4,5,6)，B(5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|PB|，则点P的坐标为_答案(0,0,6)解析设P(0,0，z)，由|PA|PB|，得，解得z6.点P的坐标为(0,0,6)引申探究1若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得ABP是以AB为底边的等腰三角形？解与例2的结论一样，

4、P(0,0,6)2若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？解设P(0，y,0)，由|PA|PB|，得，解得y.点P的坐标为.反思感悟(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解跟踪训练2设点P在x轴上，使它到点P1(0，3)的距离是到点P2(0,1，1)的距离的2倍，求点P的坐标解因为点P在x轴上，所以设点P坐标为(x,0,0)因为|PP1|2|PP2|，所以2，所以x1，所以点P的坐标为(1,0,0)或(1,0,0)命题角

5、度2空间中距离的最值例3已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|BN|a(0a )(1)求|MN|的长；(2)当a为何值时，|MN|最小解平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，ABBE，BE平面ABCD，AB，BC，BE两两垂直过点M作MGAB，MHBC，垂足分别为G，H，连接NG，易证NGAB.|CM|BN|a，|CH|MH|BG|GN|a，以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则M，N.(1)|MN|.(2)由(1)得，当a时，|MN|最

6、短，最短为，这时M，N恰好为AC，BF的中点反思感悟距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值跟踪训练3如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值解建立如图所示的空间直角坐标系，则P.点Q在CD上，设Q(0,1，z)，z0,1，|PQ|，当z时，|PQ|min.1点P(1

7、，)到原点O的距离是()A. B. C2 D.答案A解析d.2点P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点，设它关于y轴的对称点为Q，则PQ的长为()A2 B5 C3 D2答案A解析点P(1,2,2)关于y轴的对称点Q的坐标为(1,2，2)，所以|PQ|2.3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为()A.a B.aCa D.a答案B解析A(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，E点坐标为，F点坐标为，|EF|a.4若A(4，7,1)，B(6,2，z)，|AB|11，则z_.答案5或7解析|AB|11，(64)2(27)2(z1)2112，化简得(z1)236，即|z1|6，z5或z7.5求证：以A(10，1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形证明根据空间两点间距离公式，得|AB|7，|BC|7，|AC|7.因为|AB|2|BC|2|AC|2，且|AB|BC|，所以ABC是等腰直角三角形1空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想2若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解.