第一章 立体几何初步 章末复习课 学案（含答案）

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1、章末复习1空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的这三种几何体都是多面体(2)圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体2空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括主视图、左视图

2、、俯视图三种画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出熟记常见几何体的三视图画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验(2)斜二测画法为：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法它的主要步骤：画轴；画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x，y，z轴的线段；截线段：平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量3几何体的

3、表面积和体积的有关计算(1)常见几何体的侧面积和体积的计算公式面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)hh(rrr1r2)直棱柱S侧chVSh正棱锥S侧chVSh正棱台S侧(cc)hV(S上S下)h球S球面4R2VR3(2)求几何体体积常用技巧等体积法；割补法4平行关系(1)基本性质4平行于同一条直线的两条直线平行即如果直线ab，cb，那么ac.(2)直线与平面平行的判定与性质定理条件结论符号语言判定如果不在一个平面的一条直线和平面内的一条直线平行这条直线和这个平面平行l，m，lml性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

4、个平面相交这条直线和两平面的交线平行l，l，mlm(3)平面与平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行符号语言：a，b，abP，a，b.图形语言：如图所示(4)平面与平面平行的性质定理文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言：，a，bab.图形语言：如图所示作用：证明两直线平行5垂直关系(1)直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(2)直线与平面垂直的性质性质1：如果一条直线垂直于一

5、个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直符号表示：ab.性质2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行(3)面面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(4)面面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面6共面与异面直线(1)共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面(2)异面直线：既不平行又不相交的直线题型一三视图与表面积及体积的计算例1(1)如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A5 B52 C42 D42答案A解析如图所示，该几何体的表面积S111122(12)15

6、，故选A.(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案解析由几何体的三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的高为2 m，所以该几何体的体积V2121122(m3)反思感悟此类题目是先将三视图还原成几何体，计算几何体的体积时，对于不规则的几何体可利用割补法求体积跟踪训练1(1)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_答案解析由主视图知，三棱柱的底面边长为2，高为1，外接球的球心在上下两个三角形中心连线的中点上，连接球心和任意一个顶点的线段长为球的半径，则R222(

7、其中R为球的半径)，则球的表面积S4R24.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案24解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示在图(1)中， SABCAA143530， PB14336.故几何体ABCPA1C1的体积为30624.题型二空间中的平行关系例2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明

8、理由考点空间中的平行问题题点空间中的共点、共线、共面问题解当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD，证明如下：如图连接BD与AC交于点O，连接FO，则PFPB.四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，OFPD.又OF平面PMD，PD平面PMD，OF平面PMD.又MAPB且MAPB，PFMA且PFMA，四边形AFPM是平行四边形，AFPM.又AF平面PMD，PM平面PMD，AF平面PMD.又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC，平面AFC平面PMD.反思感悟(1)判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：利用

9、线面平行的判定定理利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面(2)判断面面平行的常用方法利用面面平行的判定定理面面平行的传递性(，)利用线面垂直的性质(l，l)跟踪训练2如图，四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，G是AE，DF的交点，H，R分别是BE，AD的中点，求证：平面GHR平面CDE.证明G是AE，DF的交点，四边形ADEF是正方形，G是AE，DF的中点又H是BE的中点，GHAB.四边形ABCD为平行四边形，ABCD，GHCD.又CD平面CDE，GH平面CDE，GH平面CDE.又R为AD的中点，GRED.又GR平面CDE，ED平面CDE，G

10、R平面CDE.GHGRG，且GH平面GHR，GR平面GHR，平面GHR平面CDE.题型三空间中的垂直关系例3如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AECD，又G，F分别为DA，EC的中点，将ADE沿AE折起，使得DEEC.(1)求证：AE平面CDE；(2)求证：FG平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR平面DCB，并说明理由(1)证明由已知得DEAE，AEEC.DEECE，DE，EC平面DCE，AE平面CDE.(2)证明取AB的中点H，连接GH，FH，GHBD，FHBC.GH平面BCD，BD平面BCD，GH平面BCD.同理，FH平面BCD，又GHFHH，平面FHG平面

11、BCD，GF平面FHG，GF平面BCD.(3)解取线段AE的中点R，DC的中点M，DB的中点S，连接MS，RS，BR，DR，EM，则MSBC且MSBC.又REBC且REBC，MSRE且MSRE，四边形MERS是平行四边形，RSME.在DEC中，EDEC，M是CD的中点，EMDC.由(1)知AE平面CDE，AEBC，BC平面CDE.EM平面CDE，EMBC.BCCDC，EM平面BCD.EMRS，RS平面BCD.RS平面BDR，平面BDR平面DCB.反思感悟(1)判定线面垂直的方法线面垂直定义(一般不易验证任意性)线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa)平行线垂直平面的传递性质(ab，b

12、a)面面垂直的性质(，l，a，ala)面面平行的性质(a，a)面面垂直的性质(l，l)(2)判定面面垂直的方法面面垂直的定义面面垂直的判定定理跟踪训练3如图所示，已知AF平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，DAB90，ABCD，ADAFCD2，AB4.(1)求证：AC平面BCE；(2)求证：ADAE.证明(1)在直角梯形ABCD中，ADCD2，AB4，所以ACBC2，所以AC2BC2AB2，所以ACBC.因为AF平面ABCD，AFBE，所以BE平面ABCD，所以BEAC.又BE平面BCE，BC平面BCE，BEBCB，所以AC平面BCE.(2)因为AF平面ABCD，AD

13、平面ABCD，所以AFAD.又DAB90，所以ABAD.又AF平面ABEF，AB平面ABEF，AFABA，所以AD平面ABEF.又AE平面ABEF，所以ADAE.1某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2 B4C22 D5答案C解析该三棱锥的直观图如图所示，在ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.在三棱锥SABC中，SC底面ABC，SC1，底面三角形ABC是等腰三角形，ACBC，AB边上的高CD2，ADBD1，斜高SD，ACBC.S表SABCSSACSSBCSSAB2211222.2若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1

14、l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面答案B解析当l1l2，l2l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A错；l1l2，l2l3l1l3，B正确；当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D错3设有不同的直线m，n和不同的平面，下列四个命题中，正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，m，n，则C若，m，则mD若，m，m，则m答案D解析选项A中当m，n时，m与n可以平行、相交、异面；选项B中满足条件的与可以平行，也可以相交

15、；选项C中，当，m时，m与可以垂直，也可以平行等故选项A，B，C均不正确4一条直线l上有相异三个点A，B，C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是_答案l或l解析l时，直线l上任意点到的距离都相等l时，直线l上所有的点到的距离都是0；l时，直线l上有两个点到的距离相等；l与斜交时，也只能有两点到的距离相等5.如图，在棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.