微专题突破二：正、余弦函数有界性的应用 学案（含答案）

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1、微专题突破二正、余弦函数有界性的应用函数的有界性是指：设函数f(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得|f(x)|M对任意xD都成立，则称f(x)在D上有界.对正、余弦函数，当xR时有|sin x|1，|cos x|1，这说明正、余弦函数均为有界函数.下面来谈谈正、余弦函数有界性的应用.一、求三角函数值域或最值例1(2018安徽六安第一中学高二期末)函数ysin2xsin x1的值域为()A.1,1 B.C. D.答案C解析令sin xt，t1,1，则yt2t12.t1,1，y.点评这类正、余弦函数有关的值域问题一般利用换元法转化为二次函数值域问题求解，换元时应注意正、余弦函数的有界性.二、求

2、含字母系数的函数最值例2已知函数f(x)acos xb的最大值为1，最小值为3，则函数g(x)bsin xa的最大值为_.答案3或1解析由题意知或解得或故函数g(x)的最大值为aba1，即最大值为3或1.点评此类问题一定要对字母参数分类讨论，若忽视讨论a大于0和小于0的情形，就会造成漏解.三、求恒成立问题例3已知sin2cos21，若sin22mcos 2m20恒成立，试求实数m的取值范围.解要使sin22mcos 2m20恒成立.令cos t，则1t1，f(t)t22mt2m1.则原式恒成立，只需f(t)0在1,1上恒成立.由于f(t)(tm)2m22m1(1t1)，故只要f(t)的最小值大于0即可.若m0，得m，与m0，得m22m10，解得1m1，故11，则当t1时，f(t)取得最小值2，大于0，故m1.综上所述，实数m的取值范围是m|m1.点评f(x)0恒成立，只需f(x)max0恒成立，只需f(x)min0.