1.3.1 正弦函数的图象与性质(三) 学案（含答案）

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1、1.3.1正弦函数的图象与性质(三)学习目标1.掌握ysin x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握ysin x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数yAsin(x)的单调区间.知识点一正弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线.正弦曲线：可得如下性质：由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R，值域是1,1.对于正弦函数ysin x，xR有：当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1；当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1.知识点二正弦函数的单调性正弦函数ysin x的图象与性质解析式ysin x图象值域1,1单调性在，kZ上递增，在，kZ上递减最值当x2k，kZ时

2、，ymax1；当x2k，kZ时，ymin11.正弦函数在定义域上是单调函数.()提示正弦函数不是定义域上的单调函数.2.正弦函数在第一象限是增函数.()提示正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如sin .题型一求正弦函数的单调区间例1求函数y2sin的单调递增区间.解y2sin2sin，令zx，则y2sin z.因为z是x的一次函数，所以要求y2sin z的单调递增区间，即求sin z的单调递减区间，即2kz2k(kZ).2kx2k(kZ)，即2kx2k(kZ)，函数y2sin的单调递增区间为(kZ).反思感悟用整体替换法求函数yAsin(x)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，

3、先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.跟踪训练1函数ysin，x的单调递减区间为_.答案，解析由2k3x2k(kZ)，得x(kZ).又x，所以函数ysin，x的单调递减区间为，.题型二正弦函数单调性的应用命题角度1利用正弦函数的单调性比较大小例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin 196与cos 156；(2)cos 875与sin 980.解(1)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66.0166690，且当0x90时ysin x是增函数，sin 16si

4、n 66，即sin 196cos 156.(2)cos 875cos(720155)cos 155cos(9065)sin 65，sin 980sin(720260)sin 260sin(18080)sin 80，sin 65sin 80，sin 65sin 80，cos 875sin 980.反思感悟用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.跟踪训练2比较下列各组数的大小.(1)sin与sin ；(2)sin与sin.解(1)sinsinsin，sin sinsin .ysin x在上是增函数，且，sinsi

5、n ，即sinsin .(2)sinsin sin sin sin ，sinsin sin ，因为0，且ysin x在上是增函数，所以sin 0，得x(kZ)，f(x)的单调递增区间是，kZ.根据题意，得(kZ)，从而有即解得00，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D.(0,2答案A解析取，f(x)sin，其减区间为，kZ，显然，kZ，排除B，C.取2，f(x)sin，其减区间为，kZ，显然，kZ，排除D.题型三正弦函数的值域或最值例4求函数f(x)2sin2x2sin x，x的值域.解令tsin x，因为x，所以t，则f(x)可化为y2t22t221，t，所以

6、当t时，ymin1，当t1时，ymax，故f(x)的值域是.反思感悟一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质.常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如ysin(x)的三角函数，令tx，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出ysin t的最值(值域).(2)形如yasin2xbsin xc(a0)的三角函数，可先设sin xt，将函数yasin2xbsin xc(a0)化为关于t的二次函数yat2btc(a0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对

7、于形如yasin x的函数的最值还要注意对a的讨论.跟踪训练4已知函数f(x)2asin xb的定义域为，函数的最大值为1，最小值为5，求a和b的值.解x，sin x1.若a0，不满足题意.若a0，则解得若asin B.sin 3sin 2C.sin sin D.sin 2cos 1答案D解析sin 2sin(2)，cos 1sin，且(2)10，210，sin(2)sin，即sin 2cos 1.故选D.3.函数ysin，x的值域是()A. B.C. D.答案D解析0x，x，sin1，故选D.4.求函数y32sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合.解1sin x1，当sin x1，x2

8、k，kZ，即x4k，kZ时，ymax5，此时自变量x的集合为x|x4k，kZ；当sin x1，x2k，kZ，即x4k，kZ时，ymin1，此时自变量x的集合为x|x4k，kZ.5.求函数y2sin，x(0，)的单调递增区间.解函数y2sin2sin，函数y2sin的单调递增区间为y2sin的单调递减区间.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.x(0，)，由k0，得x.函数y2sin，x(0，)的单调递增区间为.1.求函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的方法把x看成一个整体，由2kx2k (kZ)解出x的取值范围，所得区间即为增区间，由2kx2k(kZ)解出x的取值范围，所得区间即为减区间.若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求三角函数值域或最值的常用方法将y表示成以sin x为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.