第二章 平面向量 章末复习 学案（含答案）

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1、章末复习1向量的运算：设a(x1，y1)，b(x2，y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法ab(x1x2，y1y2)减法ab(x1x2，y1y2)数乘(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0a(x1，y1)向量的数量积运算ab|a|b|cos (为a与b的夹角)，规定0a0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的正射影的数量的积abx1x2y1y22.两个定理(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.基底

2、：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)平行向量基本定理如果ab，则ab，反之，如果ab且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.3向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab有唯一实数使得ba(a0)x1y2x2y10abab0x1x2y1y20题型一向量的线性运算例1如图所示，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_答案解析设，则m(m1)，.与共线，(m1)0，m.反思感悟平行向量基本定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题跟踪训练1在ABC中

3、，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由解假设存在D点，使得.，所以()，所以，即，所以，所以，所以当点D为AC的三等分点时，.题型二向量的数量积运算例2已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且|kab|akb|(k0)(1)用k表示数量积ab；(2)求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角的大小解(1)由|kab|akb|，得(kab)23(akb)2，k2a22kabb23a26kab3k2b2，(k23)a28kab(13k2)b20.|a|1，|b|1，k238kab13k20，ab.(2)ab.由函数的单调性

4、可知，f(k)在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，当k1时，f(k)minf(1)(11)，此时a与b的夹角的余弦值cos ，又0180，60.反思感悟数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.(2)求向量的夹角和模的问题设a(x1，y1)，则|a|；两向量夹角的余弦(0，a，b为非零向量)cos .跟踪训练2已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值解(1)若点A，

5、B，C能构成三角形，则这三点不共线，(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)，(3,1)，(m1，m)与不平行，3mm1，解得m，当实数m时点A，B，C能构成三角形(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，则，而(3,1)，(2m,1m)，0，即3(2m)(1m)0，解得m.题型三向量坐标法在平面几何中的应用例3已知在等腰ABC中，BB，CC是两腰上的中线，且BBCC，求顶角A的余弦值的大小解以BC的中点为坐标原点，BC，BC边上的高所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c,0)，则B(c,0)，(0，a)，(c，a)，(c,0)，(2c,0)因为BB，CC

6、为AC，AB边上的中线，所以()，同理.因为，所以0，即0，化简得a29c2.又因为cos A，所以顶角A的余弦值为.反思感悟把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题这样的解题方法具有普遍性跟踪训练3如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120，点C在上，且COB30，若，则等于()A. B. C. D2答案A解析由题意，得AOC90，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系如图所示，则O(0,0)，A(0，)，C(，0)，B(cos 30，sin 30)因为，所以(，0)(0，)，即则所以.平面

7、向量与三角函数的综合典例已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值(1)证明由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)解因为ab(cos cos ，sin sin )，c(0,1)，abc，所以由得cos cos()由0，得0，又0，所以，.素养评析(1)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实质是三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解(2)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量

8、夹角的错误(3)本题考查的是平面向量的综合应用，体现了直观想象和数学运算的核心素养.1在菱形ABCD中，若AC2，则等于()A2 B2C|cos A D与菱形的边长有关答案B解析如图，设对角线AC与BD交于点O，.()202.2设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4.若点M，N满足3，2，则等于()A20 B15 C9 D6答案C解析作出ABCD如图所示，由题设知，|2|236169.3已知向量a(1，)，b(3，m)若向量a，b的夹角为，则实数m等于()A2 B. C0 D答案B解析ab(1，)(3，m)3m，abcos ，3mcos ，m.4若向量(1，3)，|，0，则|_.答案2解析由题意可知，AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|，由勾股定理得|2.5平面向量a(，1)，b，若存在不同时为0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy，试求函数关系式kf(t)解由a(，1)，b，得ab0，|a|2，|b|1.由xy，得a(t23)b(katb)0，ka2tabk(t23)abt(t23)b20，即4kt33t0，所以k(t33t)，令f(t)(t33t)，所以函数关系式为kf(t)(t33t)