2.4.2 向量在物理中的应用 学案（含答案）

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1、2.4.2向量在物理中的应用学习目标1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.知识点一向量的线性运算在物理中的应用(1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上.(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算.知识点二向量的数量积在物理中的应用物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W|F|s|cosF，s，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积.知识点三

2、向量方法解决物理问题的步骤用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.思考物理问题中有哪些量是向量？它们与向量的哪些运算相关？答案物理中的向量：物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法.动量mv是

3、数乘向量.力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.1.功是力F与位移s的数量积.()2.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.()3.某轮船需横渡长江，船速为v1，水速为v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直.()4.求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则.()题型一向量的线性运算在物理中的应用例1(1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解如图，两根绳子的拉力之和，且|300 N，AOC30，BOC60.在OAC中，ACOBOC60，A

4、OC30，则OAC90，从而|cos 30150(N)，|sin 30150(N)，所以|150(N).答与铅垂线成30角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 N.(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.解建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30，速度为|v1|20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|20 km/h，设帆船行驶的速度为v，则vv1v2.由题意，可得向量v1(20cos 60

5、，20sin 60)(10,10)，向量v2(20,0)，则帆船的行驶速度为vv1v2(10,10)(20,0)(30,10)，所以|v|20(km/h).因为tan (为v和v2的夹角，且为锐角)，所以30，所以帆船向北偏东60的方向行驶，速度为20 km/h.反思感悟利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.跟踪训练1河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际

6、航行速度.解设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作a，b，以，为邻边作矩形OACB，连接，如图，则ab，并且即为小船的实际航行速度.|20(km/h)，tan AOC，AOC60，小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东30的方向航行.题型二向量的数量积在物理中的应用例2已知两恒力F1(3,4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功.解(1)(7,0)(20,15)(13，15)，W1F1(3,4)(13，15)3(13)4(15)99，W2F

7、2(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3.力F1，F2对质点所做的功分别为99和3.(2)WF(F1F2)(3,4)(6，5)(13，15)(9，1)(13，15)9(13)(1)(15)11715102.合力F对质点所做的功为102.反思感悟物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.跟踪训练2一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45的方向移动了8 m，其中|F1|2 N，方向为北偏东30，|F2|4 N，方向为北偏东60，|F3|6 N，方向为北偏西30，求合力F所做的功.解以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.则F1(1，)

8、，F2(2，2)，F3(3,3)，所以FF1F2F3(22,24).又因为位移s(4，4)，所以合力F所做的功为WFs(22)4(24)44624(J).即合力F所做的功为24 J.平面向量在物理中的应用典例如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是_.(写出所有正确的序号)绳子的拉力不断增大；绳子的拉力不断变小；船的浮力不断变小；船的浮力保持不变.答案解析设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为(0).则|F|cos |f|，|F|.增大，cos 减小，|F|增大.又sin 增大，|F|sin 增大，船的浮力减小.素养评

9、析本题主要考查用平面向量知识解决物理中力学问题.旨在培养学生在物理情境中将物理量之间的关系抽象成数学模型，这正是数学核心素养数学建模的具体体现.1.用两条成120角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为_ N.答案10解析设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与G都成60角，且|F1|F2|.|F1|F2|G|10 N，每根绳子的拉力都为10 N.2.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W_ J.答案300解析WFs|F|s|cosF，s6100cos 603

10、00(J).3.一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为_ min.答案3解析v实际v船v水v1v2，|v1|20 km/h，|v2|12 km/h，|v|16(km/h).所需时间t0.05(h)3(min).该船到达B处所需的时间为3 min.4.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.解如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1v2a.易求得a的方向是北偏东30，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则av3v，即v3va，由数形结合知，v3的方向是北偏西60，大小是 km/h.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.