第三章 三角恒等变换 章末复习 学案（含答案）

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1、章末复习1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin .cos()cos cos sin sin .sin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin .tan().tan().2.二倍角公式sin 22sin cos .cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3.升幂公式1cos 22cos2.1cos 22sin2.4.降幂公式sin xcos x，cos2x.sin2x.5.和差角正切公式变形tan tan tan()(1tan tan ).tan tan tan()(1tan tan ).6.辅助

2、角公式yasin xbcos xsin(x).题型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1已知，为锐角，cos ，tan()，求cos 的值.解是锐角，cos ，sin ，tan .tan tan().是锐角，cos .反思感悟给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如2，()，()，()()，()()等.跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan()的值；(2)求的值.解(1)由题可知，cos ，cos .由于，为

3、锐角，则sin ，sin .故tan ，tan .则tan().(2)因为tan()1，sin ，sin ，即0，故.题型二整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2求函数f(x)sin xcos xsin xcos x，xR的最值及取到最值时x的值.解设sin xcos xt，则tsin xcos xsin，t，.sin xcos x.f(x)sin xcos xsin xcos x，g(t)t(t1)21，t，.当t1，即sin xcos x1时，f(x)min1，此时，由sin，解得x2k或x2k，kZ.当t，即sin xcos x时，f(x)max，此时，由sin，即sin1，解得x2k，

4、kZ.综上，当x2k或x2k，kZ时，f(x)取得最小值1；当x2k，kZ时，f(x)取得最大值.反思感悟在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.跟踪训练2求函数ysin xsin 2xcos x(xR)的值域.解令sin xcos xt，则由tsin知，t，.又sin 2x1(sin xcos x)21t2，y(sin xcos x)sin 2xt1t22，t，.当t时，ymax；当t时，ymin1.函数的值域为.题型三转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3已知函数f(x)2sin(x3)sin2sin21，xR.(1)求函数f

5、(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值.解(1)因为f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin，所以f(x)的最小正周期为.当x时，2x.所以f(x)在区间上的最大值为2，最小值为1.(2)由(1)可知，f(x0)2sin.又因为f(x0)，所以sin.由x0，得2x0，所以cos，cos 2x0coscoscos sinsin .反思感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公

6、式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.跟踪训练3已知cos，x，求的值.解sin 2xtan.x，x2.又cos，sin.tan.cos xcoscoscos sinsin .sin xsinsincos sin cos.sin 2x，.题型四构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例4若sin x2cos y2，则2sin xcos y的取值范围为 .答案解析设2sin xcos ya.由解得从而解得1a.故2sin xcos y的取值范围是.反思感悟在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或

7、三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.跟踪训练4若关于的方程cos sin a0在区间(0,2)上有两个不相等的实数解，则cos()的值为 .答案解析设xcos ，ysin ，则有消去y，并整理得4x22axa210.由已知得cos ，cos 是的两个实数解，由根与系数的关系，得sin sin (cos a)(cos a)3cos cos (cos cos )aa2.cos()cos cos sin sin .1.若，则sin cos 的值为()A. B. C. D.答案C解析由题意得(sin cos )，所以sin cos .故选C.2.若是第三象限角，且sin()cos

8、 sin cos()，则tan 等于()A.5 B. C. D.5答案A解析sin()cos sin cos()sin()sin ，又是第三象限角，cos .tan 5.3.已知sin cos ，sin cos ，则sin() .答案解析由(sin cos )2(sin cos )2，得2sin()，即sin().4.设为锐角，若cos，则sin的值为 .答案解析为锐角且cos，sin.sin2sincos，cos2cos21，sinsin.5.已知函数f(x)cos xsincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.解(1)由已知，有f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期为T.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f ，f ，f ，所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.