2.1.2 向量的加法 学案（含答案）

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1、2.1.2向量的加法学习目标1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.知识点一向量加法的三角形法则与平行四边形法则(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.(2)三角形法则如图所示，已知向量a，b，在平面上任取一点A，作a，b，再作向量，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作ab，即ab.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和，有a00aa.(

2、3)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作a，b，则A，B，D三点不共线，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量ab，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.知识点二向量求和的多边形法则已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则.知识点三向量加法的运算律向量加法的运算律交换律abba结合律(ab)ca(bc)思考|ab|与|a|，|b|有什么关系？答案(1)当向量a与b不共线时，ab的方向与a，b不同，且|ab|b|，则ab的方向与a相同，且|ab|a|

3、b|；若|a|.()5.|.()题型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量ab和abc. (1) (2)解(1)作法：在平面内任意取一点O，作a，b，则ab.(2)在平面内任意取一点O，作a，b，c，则abc.反思感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”.(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则

4、作出的图形的一半.跟踪训练1如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.(1)_；(2)_；(3)_.答案(1)(2)(3)0题型二向量加法运算律的应用例2化简：(1)；(2)；(3).解(1).(2)()0.(3)0.反思感悟(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.(2)向量求和的多边形法则：.特別地，当An和A1重合时，0.跟踪训练2向量()()化简后等于()A. B.C. D.考点向量加法运算及运算律题点化简向量答案D解析向量()().题型三向量加法的实际应用例3在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船

5、从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.解作出图形，如图所示.船速v船与岸的方向成角，由图可知v水v船v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形.在RtACD中，|v水|10 m/min，|v船|20 m/min，cos ，60，从而船与水流方向成120的角.船是沿与水流的方向成120的角的方向行进的.引申探究1.若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？解由例3知v船20 m/min，v实际20sin 6010(m/min)，故该船1 h行驶的航程为1060600(m)(km).2.若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向

6、的夹角的正切值.解如图，作平行四边形ABDC，则v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为，则tan 2.即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.反思感悟向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键.跟踪训练3如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，ACW150，BCW120，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)解如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则.易得ECG18015030，FCG18012060，|cos 30105(N)，|cos 60105(N).A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.1.如图，在正

7、六边形ABCDEF中，等于()A.0 B.C. D.答案D解析.2.如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是()A.0B.0C.D.答案D解析0，0，0.故选D.3.已知正方形的边长为1，a，b，c，则|abc|等于()A.0 B.3 C.2 D.答案C解析，|abc|2c|2.4.如图所示，在四边形ABCD中，则四边形为()A.矩形B.正方形C.平行四边形D.菱形答案C解析，即，四边形ABCD为平行四边形.5.小船以10 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为_km/h.答案20解析如图，设船

8、在静水中的速度为|v1|10 km/h，河水的流速为|v2|10 km/h，小船的实际航行速度为v0，则由|v1|2|v2|2|v0|2，得(10)2102|v0|2，所以|v0|20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则.2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.3.在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.