微专题突破六：平面向量中的三角形“四心”问题 学案（含答案）

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1、微专题突破六平面向量中的三角形“四心”问题在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，还培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍：1.重心三角形三条中线的交点叫重心，它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为21.在向量表达形式中，设点G是ABC所在平面内的一点，则当点G是ABC的重心时，有0或()(其中P为平面上任意一点).反之，若0，则点G是ABC的重心.在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且坐标分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2

2、，y2)，C(x3，y3)，则有x，y.2.垂心三角形三条高线的交点叫垂心，它与顶点的连线垂直于对边.在向量表达形式中，若H是ABC的垂心，则或222222.反之，若，则H是ABC的垂心.向量(0)所在的直线过ABC的垂心(该向量在BC边上的高AD所在的直线上).3.内心三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等.在向量表达形式中，若点I是ABC的内心，则有|0.反之，若|0，则点I是ABC的内心.向量(0)所在的直线过ABC的内心(该向量在BAC的平分线所在的直线上).4.外心三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形

3、的三个顶点的距离相等.在向量表达形式中，若点O是ABC的外心，则()()()0或|.反之，若|，则点O是ABC的外心.例1已知ABC内一点O满足关系230，试求SBOCSCOASAOB的值.解如图，延长OB至B1，使BB1OB，延长OC至C1，使CC12OC，连接AB1，AC1，B1C1.则2，3.由条件，得0，点O是AB1C1的重心.从而S，其中S表示AB1C1的面积.SCOAS，SAOBS，SBOCS.于是SBOCSCOASAOB123.点评本题条件230与三角形的重心性质0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面

4、积三等分，从而可求三部分的面积比.引申推广已知ABC内一点O满足关系1230，则SBOCSCOASAOB123.例2已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心答案B解析为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向为BAC的角平分线的方向.又0，)，所以的方向与的方向相同.而，所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过ABC的内心.点评根据向量加法的平行四边形法则可知的方向为BAC的平分线的方向，体现了向量的“几何”特性以及其在解题中的应用.例3O是ABC所在平面内的一定点，动点P满足，(0

5、，)，则直线AP一定通过ABC的()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心答案D解析由，得，所以(|)0，所以与垂直，即直线AP一定通过ABC的垂心，故选D.点评注意到右边表达式分母部分“cos B”，“cos C”，联想到向量数量积的运算，通过两边同时点乘同一向量，再利用数量积运算化简，从而使问题得解.例4已知O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，动点P满足()，0，)，则点P的轨迹一定经过ABC的()A.外心 B.垂心C.内心 D.重心答案D解析设，则可知四边形BACD是平行四边形.又，得，则A，P，D三点共线.又D在边BC的中线所在的直线上，0，)，于是点P的轨迹一定经过ABC的重心，故选D.点评根据向量加法的几何意义知和的和向量所在直线平分BC，即直线AD为BC边中线所在直线，从而本题答案也就显而易见了.