1.1.1 角的概念的推广 学案（含答案）

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1、1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广学习目标1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.知识点一角的相关概念(1)角的概念角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按照逆时针方向旋转而成的角负角按照顺时针方向旋转而成的角零角当射线没有旋转，称它形成了一个零角(3)角的运算：各角和的旋转量等于各角旋转量的和.知识点二终边相同的角终边相同角的表示：设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合

2、可记为S|k360，kZ，集合S的每一个元素都与的终边相同，当k0时，对应元素为.知识点三象限角在平面直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.象限角：角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.轴线角：终边落在坐标轴上的角.1.经过1小时，时针转过30.()提示因为是顺时针旋转，所以时针转过30.2.终边与始边重合的角是零角.()提示终边与始边重合的角是k360(kZ).题型一任意角概念的理解例1(1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角.其中正确说法的序号为_.(2)将时钟拨快20分钟，则

3、分针转过的度数是_.答案(1)(2)120解析(1)锐角指大于0且小于90的角，都是第一象限角，所以对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180的角还有负角、零角，所以错误.(2)分针每分钟转6，由于顺时针旋转，所以20分钟转了120.反思感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、090角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.跟踪训练1写出下列说法所表示的角.(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.解(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为720.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针

4、方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900.题型二终边相同的角命题角度1求与已知角终边相同的角例2在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360720范围内的角.解与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)，(1)由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所求的最大负角为50.(2)由0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为310.(3)由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解

5、得k26，故所求的角为670.反思感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.跟踪训练2写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来.解由终边相同的角的表示知，与角1 910终边相同的角的集合为|k3601 910，kZ.720360，即720k3601 910360(kZ)，3k6(kZ)，故取k4,5,6.当k4时，43601 910470；当k5时，53601 910110；当k6时，63601 910250.命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例3写出终边在直线yx上的角的集

6、合.解终边在yx(x0)上的角的集合是S1|120k360，kZ；终边在yx(x0)上的角的集合是S2|300k360，kZ.因此，终边落在直线yx上的角的集合是SS1S2|120k360，kZ|300k360，kZ，即S|1202k180，kZ|120(2k1)180，kZ|120n180，nZ.故终边在直线yx上的角的集合是S|120n180，nZ.反思感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x0和x0两种情况讨论，最后再进行合并.跟踪训练3终边在直线yx上的角的取值集合是()A.|n360135，nZB.|n36045，nZC.|n180225，nZD.|n18045，

7、nZ答案D解析角的取值集合为|k360135，kZ|k36045，kZ|(2k1)18045，kZ|2k18045，kZ|n18045，nZ，故选D.题型三象限角的判定例4在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)150；(2)650；(3)95015.解(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角.(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角.(3)因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它

8、是第二象限角.反思感悟判断象限角的步骤(1)当0360时，直接写出结果.(2)当0或360时，将化为k360(kZ，0360)，转化为判断角所属的象限.跟踪训练4下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来.(1)60；(2)21.解(1)60角是第一象限角，所有与60角终边相同的角的集合S|60k360，kZ，S中适合360720的元素是60(1)360300，60036060，601360420.(2)21角是第四象限角，所有与21角终边相同的角的集合S|21k360，kZ，S中适合360720的元素是21036021，2113

9、60339，212360699.终边相同的角的应用典例一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角(其中0180)，如果两只蚂蚁都在第14 s时回到A点，并且在第2 s时均位于第二象限，求，的值.解根据题意，可知14，14均为360的整数倍，故可设14m360，mZ,14n360，nZ，则180，mZ，180，nZ.由两只蚂蚁在第2 s时均位于第二象限，知2，2均为第二象限角.因为0180，所以022360，所以2，2均为钝角，即9022180，于是4590，4590.所以4518090，451809

10、0，即m，n，又，所以mn，从而可得m2，n3，即，.素养评析通过对实际问题进行分析，建立终边相同角的模型解决问题，这就是数学核心素养数学建模的具体体现.1.下列说法正确的是()A.第一象限的角一定是正角B.三角形的内角不是锐角就是钝角C.锐角小于90D.终边相同的角相等答案C解析355是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角可能是90，所以B错误；锐角小于90，C正确；45与405角的终边相同，但不相等，所以D错误.故选C.2.与457角终边相同的角的集合是()A.|k360457，kZB.|k36097，kZC.|k360263，kZD.|k360263，kZ答案C解析4572

11、360263，故选C.3.2 019是第_象限角.答案三解析因为2 0195360219，故2 019是第三象限角.4.与1 692终边相同的最大负角是_.答案252解析1 6924360252，与1 692终边相同的最大负角为252.5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合S1|k180，kZ；终边落在y轴上的角的集合S2|k18090，kZ.终边落在坐标轴上的角的集合SS1S2|k180，kZ|k18090，kZ|2k90或(2k1)90，kZ|n90，nZ.1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同的角的认识一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.注意：(1)为任意角.(2)k360与之间是“”号，k360可理解为k360().(3)相等的角终边一定相同.终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.(4)kZ这一条件不能少.