2.1.1 向量的概念 学案（含答案）

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1、2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.知识点一向量的概念及表示(1)向量：具有大小和方向的量称为向量.只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量.(2)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向.具有方向的线段，叫做有向线段.点A叫做有向线

2、段的始点，点B叫做有向线段的终点.有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示位移的距离，位移的距离叫做向量的长度.(3)以A为始点，以B为终边的有向线段记作，的长度记作|，如果有向量线段表示一个向量，通常我们就说向量.知识点二相等向量(1)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量.(2)如果a，那么的长度表示向量a的大小，也叫做a的长(或模)，记作|a|.两个向量a和b同向且等长，即a和b相等，记作ab.知识点三向量共线或平行(1)通过有向线段的直线，叫做向量的基线(如图).如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.向量a平行于b，记作ab.(2)长度等于零的向量，叫做零向

3、量，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行.知识点四位置向量任给一定点O和向量a(如图)，过点O作有向线段a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量，又常叫做点A相对于点O的位置向量.1.向量就是有向线段.()提示向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段.2.如果|，那么.()提示向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.3.若a，b都是单位向量，则ab.()提示a与b都是单位向量，则|a|b|1，但a与b方向可能不同.4.若ab，且a与b的起点相同，则终点也相同.()提示若ab，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同

4、.5.零向量的大小为0，没有方向.()提示任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.题型一向量的概念例1下列说法正确的是()A.向量与向量的长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量都是相等的D.任意两个单位向量都相等答案A解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量模都是0，但方向不确定；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B，C，D都错误，A正确.故选A.反思感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.跟踪训练1下列说法正确的有_.(填序号)若|a|b|，则ab或ab；向量与是共线向

5、量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上；向量与是平行向量.答案解析错误.|a|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系；错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量，必须在同一直线上，因此点A，B，C，D不一定在同一条直线上；正确.向量和是长度相等，方向相反的两个向量.题型二共线向量与相等向量例2如图所示，ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.(1)写出与共线的向量；(2)写出与的模大小相等的向量；(3)写出与相等的向量.解(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EFBC，且EFBC.又因为D是BC的中点，所以与共线的向量有，.(2)与模

6、相等的向量有，.(3)与相等的向量有，.反思感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练2如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.(1)与的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？(3)与共线的向量有哪些？解(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.(2)存在.由正六边形的性质可知，BCAOEF，所以与长度相等、方向相反的向量有，共4个.(3)由(2)知，BCOAEF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，共9

7、个.题型三向量的表示及应用例3一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.(1)作出向量，；(2)求|.解(1)向量，如图所示.(2)由题意易知，与方向相反，故与共线.又|，在四边形ABCD中，ABCD，且ABCD，四边形ABCD为平行四边形，|200 km.反思感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使ba；(2)在图中画一个以A为

8、起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).(2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆(作图略).特殊向量的作用典例给出下列命题：若ab，则a与b的方向相同或相反；若ab，bc，则ac；若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；若ab，bc，则ac，其中正确的是_.(填序号)考点向量的概念题点向量的性质答案解析由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a0，则对于任意的向量b，都有ab，知错误；取b0，则对于任意的向量a，c都有ab，bc，知错误；两个模相等的向

9、量互相平行，方向可能相反，知错误；由两个向量相等的概念可知正确.素养评析(1)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需要准确理解概念进行推理，这正体现了数学中逻辑推理的核心素养.(2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆，否则在解决相关问题过程中容易出错.(3)零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立.1.下列结论正确的个数是()温度含零上和零下温度，所以温度是向量；向量的模是一个正实数；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；若|a|b|，则ab.A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析温度没有方向，所以不是向量，故错；向量的模也可以为0

10、，故错；向量不可以比较大小，故错；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故对.2.下列说法错误的是()A.若a0，则|a|0 B.零向量是没有方向的C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的答案B解析零向量的长度为0，方向是任意的，它与任一向量都平行，所以B是错误的.3.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是()A. B.|C. D.答案B解析|与|表示等腰梯形两腰的长度，故相等.4.如图所示，在以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与，相等的向量；(2)写出与的模相等的向量.解(1)，.(2)与的模相等的向量有，.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.3.注意一个特殊向量零向量，零向量的长度为0，方向不确定，通常规定零向量与任意向量平行.