1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 学案（含答案）

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1、1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算学习目标1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确地转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式.知识点一角度制与弧度制(1)角度制定义：用度作单位来度量角的制度.1度的角：把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1度.(2)弧度制定义：以弧度为单位来度量角的制度.1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为 rad，则.知识点二角度制与弧度制的换算(1)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 rad2

2、rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0130456090120135150180270360弧度02知识点三扇形的弧长及面积公式角度制弧度制弧长公式llr扇形面积公式SSlrr2注意事项r是扇形半径，n是圆心角的角度数r是扇形半径，是圆心角的弧度数，l是弧长1.1 rad的角和1的角大小相等.()提示1 rad的角和1的角大小不相等，1 rad.2.用弧度来表示的角都是正角.()提示弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数.3.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.()提示“1弧度的角”的

3、大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.4.半径为1的圆弧中，60角所对的圆弧长为60.()提示使用扇形弧长公式lr时应将角化为弧度，60等于，所以60角所对弧长为.题型一角度与弧度的互化例1将下列角度与弧度进行互化.(1)20；(2)15；(3)；(4).解(1)20.(2)15.(3)180105.(4)180396.反思感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记180 rad即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可.跟踪训练1(1)把11230化成弧度；(2)把化成度.解(1)11230.(2)75.题型二用弧度制表示终边相同的角

4、例2已知角2 010.(1)将改写成2k(kZ,02)的形式，并指出是第几象限的角；(2)在区间5，0)上找出与终边相同的角.解(1)2 0102 01052，又，的终边与终边相同，是第三象限的角.(2)与终边相同的角可以写成2k(kZ)，又50，当k3时，；当k2时，；当k1时，.反思感悟用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，其中2k(kZ)是的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.跟踪训练2如图所示：(1)用弧度制分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)用弧度制写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解(1)终边在OA上的角的集合为.终边在OB上的角的集合为

5、.(2).题型三扇形的弧长及面积公式的应用例3(1)若扇形的中心角为120，半径为，则此扇形的面积为()A. B. C. D.(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为()A.2 B. C.2sin 1 D.答案(1)A(2)D解析(1)扇形的中心角为120，半径为，所以S扇形|r2()2.(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角为1，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2.反思感悟联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是Slrr2，二是lr，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化

6、为弧度，再计算.跟踪训练3一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形的圆心角的弧度数.解设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4，l42R，根据扇形面积公式SlR，得1(42R)R，R1，l2，2，即该扇形的圆心角为2 rad.扇形面积计算典例九章算术是我国古代数学的杰出代表作.其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦矢矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A.6 m2 B.9 m2C.12 m2 D.15 m2答案B解析根据题设，弦24s

7、in 4(m)，矢44cos 2(m)，故弧田面积(弦矢矢2)(4222)429(m2).素养评析本例中通过对实际问题进行分析，抽象出具体的数学模型，建立相应公式使问题得解，这就是数学核心素养数学抽象的体现.1.下列说法中，错误的是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1的角是周角的，1 rad的角是周角的C.1 rad的角比1的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关答案D解析根据1度、1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.2.把化为角度是()A.270 B.280 C.288 D.318答案C解析288.3.若5，则角的终边在()A.第四象限 B.第三象限 C

8、.第二象限 D.第一象限答案D解析25与5的终边相同，25，25是第一象限角，则5也是第一象限角.4.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角的弧度数是()A.1 B.4 C.1或4 D.2或4答案C解析设扇形半径为r，圆心角的弧度数为，则由题意得或5.若一扇形的圆心角为72，半径为20 cm，则扇形的面积为 .答案80 cm2解析72，S扇形r220280(cm2).1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式.易知：度数 rad弧度数，弧度数度数.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.