§3.3 三角函数的积化和差与和差化积 学案（含答案）

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1、3.3三角函数的积化和差与和差化积学习目标1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程.2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用.知识点一积化和差公式(1)sin cos sin()sin().(2)cos sin sin()sin().(3)cos cos cos()cos().(4)sin sin cos()cos().知识点二和差化积公式(1)sin sin 2sin cos ；(2)sin sin 2cos sin ；(3)cos cos 2cos cos ；(4)cos cos 2sin sin .题型一利用积化和差与和差化积公

2、式化简求值例1求值：sin 20cos 70sin 10sin 50.解sin 20cos 70sin 10sin 50(sin 90sin 50)(cos 60cos 40)sin 50cos 40sin 50sin 50.反思感悟套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.跟踪训练1求值：cos 20cos 60cos 100cos 140.解原式cos 20(cos 100cos 140)cos 202cos 120cos 20cos 20

3、cos 20.题型二三角恒等式的证明例2在ABC中，求证：sin 2Asin 2Bsin 2C4sin Asin Bsin C.证明左边sin 2Asin 2Bsin 2C2sincossin 2C2sin(AB)cos(AB)2sin(AB)cos(AB)2sin Ccos(AB)cos(AB)2sin C(2)sinsin4sin Asin Bsin C右边，所以原等式成立.反思感悟在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.跟踪训练2已知ABC，求证：sin Asin Bsin C4sin sin cos .证明左边sin(BC)2sin cos 2s

4、in cos 2sin cos 2cos 2cos 2sin cos 4sin sin cos 右边，原等式成立.1.sin 75sin 15的值为()A. B. C. D.答案B解析sin 75sin 152cos 45sin 302，故选B.2.cos 72cos 36的值为()A.32 B. C. D.32答案C解析原式2sinsin2sin 54sin 182cos 36cos 722.3.sin 105sin 15等于()A. B. C. D.答案C解析 sin 105sin 152sincos2sin 60cos 45.4.sin 37.5 cos 7.5等于()A. B. C. D.答案C解析sin 37.5 cos 7.5sin(37.57.5)sin(37.57.5)(sin 45sin 30).故选C.5.在ABC中，若B30，求cos Asin C的取值范围.解由题意，得cos Asin Csin(AC)sin(AC)sin(B)sin(AC)sin(AC).B30，150AC150，1sin(AC)1，sin(AC).cos Asin C的取值范围是.1.本节学习了积化和差公式、和差化积公式，一定要清楚这些公式的形式特征，理解公式间的关系.2.和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系.