人教B版高中数学必修四《3.1.1 两角和与差的余弦》学案（含答案）

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1、3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.知识点两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式C：cos()cos cos sin sin .C：cos()cos cos sin sin .1.存在角，使得cos()cos cos .()提示如，cos()coscos，cos cos cos cos ，满足cos()cos cos .2.任意角，cos()cos cos sin sin .()提示由两角差的余弦公式可知不正确.3.任意角，cos()

2、cos cos sin sin .()题型一利用两角和与差的余弦公式求值例1计算：(1)cos(15)；(2)cos 15cos 105sin 15sin 105.解(1)方法一原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45.方法二原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)原式cos(15105)cos 120.反思感悟利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差或和，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差或和的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.跟踪训练1求下列各

3、式的值.(1)cos 105；(2)cos 46cos 16sin 46sin 16.解(1)原式cos(15045)cos 150cos 45sin 150sin 45.(2)原式cos(4616)cos 30.题型二给值求值例2已知，均为锐角，sin ，cos()，求cos 的值.解因为，sin ，所以0.所以.又因为cos()，所以.所以cos ，sin().所以cos cos()cos cos()sin sin().反思感悟三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有()，()，(2)()，()()，()

4、()等.跟踪训练2已知cos ，cos()，且，求cos 的值.解，(0，).又cos ，cos()，sin ，sin().又()，cos cos()cos()cos sin()sin .题型三给值求角例3已知cos ，cos()，且0，求的值.解由cos ，0，得sin .由0，得0.又cos()，sin() .由()，得cos cos()cos cos()sin sin()，即cos .又0，.反思感悟求解给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值.(2)确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的角.跟踪训练3已知cos()，cos()，且，求角的值.解由，且cos()，得sin

5、().由，且cos()，得sin().cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()1.又，2.2，则.两角差的余弦公式的应用典例如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点.(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，求cos 和sin ；(2)在(1)的条件下，求cos()的值.考点两角差的余弦公式题点两角差的余弦公式的综合应用解(1)OA1，OB1，且点A，B的纵坐标分别为，sin ，sin ，又为锐角，cos .(2)为钝角，由(1)知cos ，cos()cos cos sin sin .素养评析从已给信息得出角，的正弦、余弦值是解决本题的关键，体现了

6、从图形关系中抽象出数学概念的思想，这正是数学核心素养数学抽象的具体表现.1.计算cos cos cos sin 的值是()A.0 B. C. D.答案C解析cos cos cos sin cos cos sin sin coscos .2.若a(cos 60，sin 60)，b(cos 15，sin 15)，则ab等于()A. B. C. D.答案A解析abcos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45.3.设，若sin ，则cos等于()A. B. C. D.答案B解析，sin ，cos ，coscos sin .4.已知sin sin ，cos cos ，求cos()的值.解(sin sin )22，(cos cos )22，以上两式展开，两边分别相加，得22cos()1，cos().5.已知sin ，sin ，且180270，90180，求cos()的值.解因为sin ，180270，所以cos .因为sin ，90180，所以cos .所以cos()cos cos sin sin .1.公式C与C都是三角恒等式，既可正用，也可逆用.要注意公式的结构特征.如：cos cos sin sin cos().2.要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解.3.注意角的拆分技巧的积累，如：()()等.