1.3.1 正弦函数的图象与性质(三)课时对点练(含答案)
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1、1.3.1正弦函数的图象与性质(三)学习目标1.掌握ysin x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握ysin x的单调性,并能利用单调性比较大小.3.会求函数yAsin(x)的单调区间.知识点一正弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线.正弦曲线:可得如下性质:由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R,值域是1,1.对于正弦函数ysin x,xR有:当且仅当x2k,kZ时,取得最大值1;当且仅当x2k,kZ时,取得最小值1.知识点二正弦函数的单调性正弦函数ysin x的图象与性质解析式ysin x图象值域1,1单调性在,kZ上递增,在,kZ上递减最值当x2k,kZ时
2、,ymax1;当x2k,kZ时,ymin11.正弦函数在定义域上是单调函数.()提示正弦函数不是定义域上的单调函数.2.正弦函数在第一象限是增函数.()提示正弦函数在第一象限不是增函数,因为在第一象限,如sin .题型一求正弦函数的单调区间例1求函数y2sin的单调递增区间.解y2sin2sin,令zx,则y2sin z.因为z是x的一次函数,所以要求y2sin z的单调递增区间,即求sin z的单调递减区间,即2kz2k(kZ).2kx2k(kZ),即2kx2k(kZ),函数y2sin的单调递增区间为(kZ).反思感悟用整体替换法求函数yAsin(x)的单调区间时,如果式子中x的系数为负数,
3、先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时,需将最终结果写成区间形式.跟踪训练1函数ysin,x的单调递减区间为_.答案,解析由2k3x2k(kZ),得x(kZ).又x,所以函数ysin,x的单调递减区间为,.题型二正弦函数单调性的应用命题角度1利用正弦函数的单调性比较大小例2利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.(1)sin 196与cos 156;(2)cos 875与sin 980.解(1)sin 196sin(18016)sin 16,cos 156cos(18024)cos 24sin 66.0166690,且当0x90时ysin x是增函数,sin 16si
4、n 66,即sin 196cos 156.(2)cos 875cos(720155)cos 155cos(9065)sin 65,sin 980sin(720260)sin 260sin(18080)sin 80,sin 65sin 80,sin 65sin 80,cos 875sin 980.反思感悟用正弦函数的单调性比较大小时,应先将异名化同名,把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间,再利用单调性来比较大小.跟踪训练2比较下列各组数的大小.(1)sin与sin ;(2)sin与sin.解(1)sinsinsin,sin sinsin .ysin x在上是增函数,且,sinsi
5、n ,即sinsin .(2)sinsin sin sin sin ,sinsin sin ,因为0,且ysin x在上是增函数,所以sin 0,得x(kZ),f(x)的单调递增区间是,kZ.根据题意,得(kZ),从而有即解得00,函数f(x)sin在上单调递减,则的取值范围是()A. B.C. D.(0,2答案A解析取,f(x)sin,其减区间为,kZ,显然,kZ,排除B,C.取2,f(x)sin,其减区间为,kZ,显然,kZ,排除D.题型三正弦函数的值域或最值例4求函数f(x)2sin2x2sin x,x的值域.解令tsin x,因为x,所以t,则f(x)可化为y2t22t221,t,所以
6、当t时,ymin1,当t1时,ymax,故f(x)的值域是.反思感悟一般函数的值域求法有:观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式,一般方法也适用,但要结合三角函数本身的性质.常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种:(1)形如ysin(x)的三角函数,令tx,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出ysin t的最值(值域).(2)形如yasin2xbsin xc(a0)的三角函数,可先设sin xt,将函数yasin2xbsin xc(a0)化为关于t的二次函数yat2btc(a0),根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对
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