2020人教B版高中数学必修四第二章平面向量 章末检测试卷（含答案）

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1、章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1已知O，A，M，B为平面上的四点，且(1)，(0,1)，则() A点M在线段AB上 B点B在线段AM上C点A在线段BM上 DO，A，M，B四点一定共线答案A解析(1)，这表明点M在线段AB上2在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2) Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10) De1(2，3)，e2(2,3)答案B解析由题意知，A选项中e10，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.3已知点A(1,3)，B(

2、4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A. B.C. D.答案A解析由已知，得(3，4)，所以|5，因此与同方向的单位向量是，故选A.4已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6，则的值为()A2 B2 C D.答案C解析设a，b的夹角为，则ab|a|b|cos 6，cos 1，即a，b共线且反向，ab，x1x2，y1y2，.5向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a等于()A1 B0 C1 D2答案C解析2ab(2，2)(1,2)(1,0)，(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选C.6对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|

3、 B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2答案B解析当向量a和b方向不相同时，|ab|a|b|，B选项不成立7已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC，设 (R)，则的值为()A1 B. C. D.答案D解析过C作CEx轴于点E.由AOC，得|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.8向量(4，3)，向量(2，4)，则ABC的形状为()A等腰非直角三角形 B等边三角形C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析(4，3)，(2，4)，(2，1)(2,1)(2,4)0，C90，且|，|2，|，ABC是直角非等

4、腰三角形9在ABC中，P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M.若t，则t的值为()A. B. C. D.答案D解析因为A，M，Q三点共线，所以可设.又因为tttt，所以t，.将它们代入，得t.由于，不共线，从而解得故选D.10若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D答案A解析由(ab)(3a2b)，得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20，cos .又0，.11已知向量a，b，若ab，则锐角为()A30 B60

5、C45 D75答案A解析ab，sin2，sin .又为锐角，30.12若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1 C. D2答案B解析由已知可设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，由|c|1，(ac)(bc)0，得xy1.所以|abc|1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.答案解析ab与a2b平行，abt(a2b)ta2tb，又a，b不平行，14如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为_N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为_答案(5,4)解析F1

6、(2,3)，F2(3,1)，所以合力FF1F2(2,3)(3,1)(5,4)，所以合力的大小为(N)15.如图所示，半圆的直径AB2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值是_答案解析因为点O是A，B的中点，所以2，设|x，则|1x(0x1)，所以()22x(1x)22.所以当x时，()取到最小值.16在ABC中，AB3，AC边上的中线BD，5，则AC的长为_考点平面几何中的向量方法题点利用向量解决平面几何问题答案2解析设BAC，ADx(x0)，则2x3cos 5，xcos .作DEAB于点E，由DE2EB2BD2，得(xsin )2(3xcos )

7、25，解得xsin .x2cos2x2sin2x21，x1，AC2x2.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|b|2，且ab，求b的坐标；(2)若|c|，且2ac与4a3c垂直，求a与c的夹角.解(1)设b(x，y)，因为ab，所以y2x.又因为|b|2，所以x2y220.由联立，解得b(2,4)或b(2，4)(2)由已知(2ac)(4a3c)，得(2ac)(4a3c)8a23c22ac0，由|a|，|c|，解得ac5，所以cos ，0，所以a与c的夹角.18(12分)如图所示，在ABC中，BQ与CR相交于点I，AI

8、的延长线与边BC交于点P.(1)用和分别表示和；(2)如果，求实数和的值；(3)确定点P在边BC上的位置解(1)由，可得.，.(2)将，代入，则有，即(1)(1)，又，不共线，解得(3)设m，n.由(2)知，nnmmm，又，不共线，解得，即2，点P在BC的三等分点且靠近点C处19(12分)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6，cos .又0，.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|242

9、2(6)3213，|ab|.(3)与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC433.20(12分)已知在ABC中，C是直角，CACB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE2EB，求证：ADCE.证明以点C为坐标原点，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的直角坐标系，设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)D是BC的中点，D.又2，即(xa，y)2(x，ay)，解得x，ya，E.(a,0)，(a)aa2a20，即ADCE.21(12分)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若ab

10、c，求，的值(1)证明由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)解因为ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得cos cos()，由0，得0，又0，所以，.22(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(2,1)，A(1,0)，B(cos ，t)(1)若a，且|，求向量的坐标；(2)若a，求ycos2cos t2的最小值解(1)(cos 1，t)，a，2tcos 10.cos 12t.|，(cos 1)2t25.由，得t21，t1.当t1时，cos 3(舍去)，当t1时，cos 1，B(1，1)，(1，1)(2)由式可知t，ycos2cos cos2cos 2，当cos 时，ymin.