2017-2018学年内蒙古通辽五中高二（上）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、2017-2018学年内蒙古通辽五中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1（5分）“x0，2xsinx”的否定是（）Ax0，2xsinxBx0，2xsinxCx00，2x0sinx0Dx00，2x0sinx02（5分）已知直线m与平面，则下列结论成立的是（）A若直线m垂直于内的两条直线，则mB若直线m垂直于内的无数条直线，则mC若直线m平行于内的一条直线，则mD若直线m与平面无公共点，则m3（5分）阅读下面的程序框图，则输出的S（）A14B20C30D554（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参

2、加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（）A“至少1名男生”与“全是女生”B“至少1名男生”与“至少有1名是女生”C“至少1名男生”与“全是男生”D“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”5（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ABCD6（5分）若kR，则“k3”是“方程1表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）已知ABC中，A、B的坐标分别为（0，2）和（0，2），若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是（）A（y0）B（x0）C（y0）D（x0）8（5分）四棱锥PABCD中，

3、底面ABCD为正方形，且PA平面ABCD，PAAB，则直线PB与直线AC所成角的大小为（）ABCD9（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）1245销售额y（万元）6142832根据上表中的数据可以求得线性回归方程x+中的为6.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）A66.2万元B66.4万元C66.8万元D67.6万元10（5分）甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是（）ABCD11（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形

4、，则该双曲线离心率的取值范围是（）ABCD12（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）1f（x），f（1）2，f（x）是f（x）的导函数，则不等式ex+1f（x+1）ex+1+e（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（，1）（0，+）B（1，+）C（，0）（1，+）D（0，+）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）某单位共有职工120人，其中男职工有48人，现利用分层抽样的方法抽取一个15人的样本，则男职工应抽取的人数为 14（5分）已知f（x）xex，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程是 15（5分）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，

5、SA平面ABC，AC，则球O的表面积为 16（5分）已知f（x）x3+tx2在区间2，1上是减函数，则的最大值为 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知函数（1）若函数，求g（e）的值；（2）求f（x）的极值18（12分）已知直线l过抛物线y22px（p0）的焦点F（2，0），交抛物线于M、N两点（1）写出抛物线的标准方程及准线方程；（2）若直线MN中点的纵坐标为1，求直线l的方程19（12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶

6、员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：60，65），65，70），70，75），75，80），80，85），85，90）后得到如图的频率分布直方图（1）求这40辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；（2）若从车速在60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在65，70）的车辆恰有一辆的概率20（12分）已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点（1）证明：PFFD（2）若PA1，求点A到平面PFD的距离21（12分）已知函数f（x）kx3+3（k1）x2k2+1在x0，x4处取得极值（1）求常

7、数k的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）设g（x）f（x）+c，且x1，2，g（x）2c+1恒成立，求c的取值范围22（12分）已知点A（0，2），椭圆E：+1（a0，b0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O是坐标原点（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程2017-2018学年内蒙古通辽五中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1（5分）“x0，2xsinx”的否定是（）Ax0，2xsinxBx0，2xs

8、inxCx00，2x0sinx0Dx00，2x0sinx0【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，“x0，2xsinx”的否定是x00，2x0sinx0，故选：D【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题2（5分）已知直线m与平面，则下列结论成立的是（）A若直线m垂直于内的两条直线，则mB若直线m垂直于内的无数条直线，则mC若直线m平行于内的一条直线，则mD若直线m与平面无公共点，则m【分析】在A中，若直线m垂直于内的两条相交直线，则m；在B中，当这无数条直线都是平行线时，则m与不一定垂直；在C中，m或m；在D中，

9、由直线与平面平行的定义得m【解答】解：由直线m与平面，知：在A中，若直线m垂直于内的两条相交直线，则m，故A错误；在B中，若直线m垂直于内的无数条直线，当这无数条直线都是平行线时，则m与不一定垂直，故B错误；在C中，若直线m平行于内的一条直线，则m或m，故C错误；在D中，若直线m与平面无公共点，则由直线与平面平行的定义得m，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面的位置关系，主要考查了平面的基本性质及推论，熟练掌握平面的基本性质及推论是解题的关键3（5分）阅读下面的程序框图，则输出的S（）A14B20C30D55【分析】经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足

10、跳出的条件时即可输出s的值【解答】解：S10，i11；S21，i22；S35，i33；S414，i44；S530，i54退出循环，故选：C【点评】本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题4（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（）A“至少1名男生”与“全是女生”B“至少1名男生”与“至少有1名是女生”C“至少1名男生”与“全是男生”D“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，分析四组事件的关系，可得答案【解答】解：从3名男生和2名女生中任选2名学生参加

11、演讲比赛，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件；“至少1名男生”与“至少有1名是女生”不互斥；“至少1名男生”与“全是男生”不互斥；“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件；故选：D【点评】本题考查的知识点是互斥事件与对立事件，难度不大，属于基础题5（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ABCD【分析】由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥SABC，其中平面SACABC，SAABBCSCSB2，AC4，由此能求出该几何体的表面积【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥SABC，其中平面SACABC，SAABBCS

12、CSB2，AC4，如图，SASC，ABBC，该几何体的表面积为：S2（SSAC+SSAB）2（）8+4故选：A【点评】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题6（5分）若kR，则“k3”是“方程1表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线k3和k+3同号，进而求得k的范围即可判断是什么条件【解答】解：依题意：“方程1表示双曲线”可知（k3）（k+3）0，求得k3或k3，则“k3”是“方程1表示双曲线”的充分不必要条件

13、故选：A【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况7（5分）已知ABC中，A、B的坐标分别为（0，2）和（0，2），若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是（）A（y0）B（x0）C（y0）D（x0）【分析】根据三角形的周长及|AB|4，可得|AC|+|BC|6|AB|，根据椭圆的定义知顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，待定系数法求椭圆的方程【解答】解：|AB|4，三角形的周长为10，|AC|+|BC|1046|AB|，根据椭圆的定义知，顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且 c2，a3，b，故椭圆的方程为 +1，故选：B【点评】本题考查根据椭圆的定义，

14、用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，属于基础题8（5分）四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，且PA平面ABCD，PAAB，则直线PB与直线AC所成角的大小为（）ABCD【分析】连接BD，与AC交于O点，取PD的中点E，连接OE，AE运用中位线定理，可得AOE即为直线PB与直线AC所成角运用线面垂直的性质和勾股定理，解三角形AOE，即可得到所求值【解答】解：连接BD，与AC交于O点，取PD的中点E，连接OE，AE由中位线定理，可得OEPB，且OEPB，即有AOE即为直线PB与直线AC所成角由PA平面ABCD，设PAABa，可得直角三角形PAB中，PBa，OEa，在等腰直角三角形PAD中，A

15、EPDa，在正方形ABCD中，AOACa，则AOE为等边三角形，可得AOE故选：C【点评】本题考查空间异面直线所成角的求法，注意运用三角形的中位线定理和解三角形的知识，考查线面垂直的性质和勾股定理的运用，属于基础题9（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）1245销售额y（万元）6142832根据上表中的数据可以求得线性回归方程x+中的为6.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）A66.2万元B66.4万元C66.8万元D67.6万元【分析】根据表中数据，求出、，利用回归方程过样本中心点（，）求出a的值，再利用回归方程预测广告费用为10万元时的销售额【解

16、答】解：根据表中数据，得（1+2+4+5）3，（6+14+28+32）20；且回归方程ybx+a过样本中心点（，），所以6.63+a20，解得a0.2，所以回归方程y6.6x+0.2；当x10时，y6.610+0.266.2，即广告费用为10万元时销售额为66.2万元故选：A【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题目10（5分）甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是（）ABCD【分析】设甲、乙两人各自跑的路程，列出不等式，作出图形，再列出相距不超过50米，满足的不等式，求出相应的面积，即可求得相应的概率【解答】解：设甲、乙两人各自

17、跑的路程为xm，ym，则，表示的区域如图所示，面积为90000m2，相距不超过50米，满足|xy|50，表示的区域如图阴影所示，其面积为（9000062500）m227500m2，在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是故选：C【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握几何概率模型的使用条件，以及几何概率模型的计算公式11（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）ABCD【分析】由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知ABC为等腰三角形，ABF2为锐角三角形只要AF2B为锐角

18、即可，由此可知2c，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围【解答】解：根据题意，易得AB2，F1F22c，由题设条件可知ABF2为等腰三角形，只要AF2B为锐角，即AF1F1F2即可；有2c，即2acc2a2，解出e（1，1+），故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的运用，是基础题12（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）1f（x），f（1）2，f（x）是f（x）的导函数，则不等式ex+1f（x+1）ex+1+e（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（，1）（0，+）B（1，+）C（，0）（1，+）D（0，+）【分析】构造函数g（x

19、）exf（x）ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）exf（x）ex，（xR），则g（x）exf（x）+exf（x）exexf（x）+f（x）1，f（x）1f（x），f（x）+f（x）10，g（x）0，yg（x）在定义域上单调递增，ex+1f（x+1）ex+1+e，g（x+1）e，又g（1）ef（1）e2eee，g（x+1）g（1），x0，不等式的解集为（0，+），故选：D【点评】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）某

20、单位共有职工120人，其中男职工有48人，现利用分层抽样的方法抽取一个15人的样本，则男职工应抽取的人数为6【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用此概率乘以男职工的人数，即得所求【解答】解：每个个体被抽到的概率等于 ，抽取男职工的人数为 486，故答案为：6【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题14（5分）已知f（x）xex，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程是yexe【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程【解答】解：根据题意，函数f（x）e

21、xlnx，f（1）e0ln10，则切点为（1，0），其导数f（x）ex（lnx+），则有f（1）e（ln1+1）e，则f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为ke，则f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y0e（x1），化简为yexe；故答案为：yexe【点评】本题考查看利用导数求函数切线方程的应用问题，涉及导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，15（5分）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，AC，则球O的表面积为17【分析】由题意画出图形，结合图形利用三角形的外接圆直径求得外接球O的半径，再求其表面积【解答】解：如图所示，三棱锥SABC的所有顶点都在

22、球O的球面上，ABC中，SA2，AB1，AC，BC2，AB2+BC2AC2，ABBC，AC是ABC外接圆的直径；又SA平面ABC，SAAC，SC是SAC外接圆的直径；且平面SAC平面ABC，SC是三棱锥SABC的外接球直径，且SC，球O的半径为R，球O的表面积为S4R2417故答案为：17【点评】本题考查了三棱锥外接球的表面积求法问题，合理作出图形，数形结合求出球的半径，是解题的关键16（5分）已知f（x）x3+tx2在区间2，1上是减函数，则的最大值为【分析】求出函数的导数，根据函数f（x）的单调性求出t的范围，从而求出g（t）的最大值即可【解答】解：f（x）3x2+2tx，由题意3x2+2

23、tx0在2，1恒成立，即3x+2t0在2，1恒成立，故2t（3x）max，x2，1，解得：t3，则g（t），由函数h（t）t+（t3）在3，+递增，故函数g（t）在3，+递减，故g（t）maxg（3），故答案为：【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及求函数最值问题，是一道中档题三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知函数（1）若函数，求g（e）的值；（2）求f（x）的极值【分析】（1）求出函数的导数，计算g（e）的值即可；（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可【解答】解：（1）g（x），（x0），

24、则g（x），故g（e）0；（2）f（x）+，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：0x，故f（x）在（0，）递减，在（，+）递增，故f（x）极小值f（）0，无极大值【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题18（12分）已知直线l过抛物线y22px（p0）的焦点F（2，0），交抛物线于M、N两点（1）写出抛物线的标准方程及准线方程；（2）若直线MN中点的纵坐标为1，求直线l的方程【分析】（1）由抛物线的焦点坐标，可得p，进而得到抛物线的方程和准线方程；（2）可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx2k，k0，联立抛物线方程，消去x，运用韦达定理和中点坐标公

25、式，解得k，进而得到所求直线方程【解答】解：（1）抛物线y22px（p0）的焦点F（2，0），可得2，即p4，则抛物线的标准方程为y28x，准线方程为x2；（2）可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx2k，k0，联立抛物线y28x，可得yy22k，设M（x1，y1），N（x2，y2），即为ky28y16k0，即有y1+y2，由MN中点的纵坐标为1，可得2，解得k4，则直线l的方程为y4x+8【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用抛物线的性质，考查直线方程和抛物线联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题19（12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多某调查公司

26、在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：60，65），65，70），70，75），75，80），80，85），85，90）后得到如图的频率分布直方图（1）求这40辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；（2）若从车速在60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在65，70）的车辆恰有一辆的概率【分析】（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，由此能求出众数的估计值；设图中虚线所对应的车速为x，由频率分布直方图能求出中位数的估计值和平均数的估计值（2）从频率分布直方图求出车速在60，

27、65）的车辆数、车速在65，70）的车辆数，设车速在60，65）的车辆设为a，b，车速在65，70）的车辆设为c，d，e，f，利用列举法能求出车速在65，70）的车辆恰有一辆的概率【解答】解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5，设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.015+0.025+0.045+0.06（x75）0.5，解得x77.5，即中位数的估计值为77.5，平均数的估计值为：5（62.50.01+67.50.02+72.50.04+77.50.06+82.50.05+87.50.02）77（2）从图中可知，车速在60，65）的车辆数为：m10

28、.015402（辆），车速在65，70）的车辆数为：m20.025404（辆）设车速在60，65）的车辆设为a，b，车速在65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种其中车速在65，70）的车辆恰有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）共8种车速在65，70）的车辆恰有一辆的概率为【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的

29、求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用20（12分）已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点（1）证明：PFFD（2）若PA1，求点A到平面PFD的距离【分析】（1）连接AF，通过计算利用勾股定理证明DFAF，证明DFPA，推出DF平面PAF，然后证明DFPF（2）通过VAPFDVPAFD，转化求解点A到平面PFD的距离即可【解答】（1）证明：连接AF，则，又AD2，DF2+AF2AD2，DFAF，又PA平面ABCD，DFPA，又PAAFA，DF平面PAF，又PF平面PAF，DFPF（2）解：，VAPFD

30、VPAFD，解得，即点A到平面PFD的距离为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，点到平面的距离距离的求法，考查计算能力以及空间想象能力21（12分）已知函数f（x）kx3+3（k1）x2k2+1在x0，x4处取得极值（1）求常数k的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）设g（x）f（x）+c，且x1，2，g（x）2c+1恒成立，求c的取值范围【分析】（1）因为函数两个极值点已知，令f（x）3kx2+6（k1）x0，把0和4代入求出k即可（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，f（x）3kx2+6（k1）xx24xx（x4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即

31、可，把函数导数为0的x值代到f（x）中，通过表格，判断极大、极小值即可（3）要使命题成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1，由（2）得：g（1）和g（2）其中较小的即为g（x）的最小值，列出不等关系即可求得c的取值范围【解答】解：（1）f（x）3kx2+6（k1）x，由于在x0，x4处取得极值，f（0）0，f（4）0，可求得（2分）（2）由（1）可知，f（x）x24xx（x4），f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（，0）0（0，4）4（4，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值当x0或x4，f（x）为增函数，0x4，f（x）为减函数； （4分）极大值为，极小值为（5分）（3）要使命

32、题成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1由（2）得：（6分），（8分）【点评】考查学生会利用导数研究函数的单调性、会利用导数研究函数的极值，掌握不等式恒成立时所取的条件以及会求一元二次不等式的解集做题时学生应掌握转化的方法变形22（12分）已知点A（0，2），椭圆E：+1（a0，b0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O是坐标原点（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程【分析】（1）设F（c，0），由已知得，求得c，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，当lx轴时，不合题意，设l：yk

33、x2，联立直线方程与椭圆方程，求出P、Q的横坐标，代入弦长公式求得|PQ|，再由点到直线的距离公式求得O到PQ的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值，同时求得当OPQ的面积最大时直线l的方程【解答】解：（1）设F（c，0），由条件知，得，又，a2，b2a2c21，故E的方程为：；（2）当lx轴时，不合题意，故设l：ykx2，p（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（1+4k2）x216kx+120当16（4k23）0，即时，从而又点O到直线PQ的距离OPQ的面积为，设，则，当且仅当，即t2时取“”，即时等号成立，且满足0，当OPQ的面积最大时，l的方程为或【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属中档题