2017-2018学年内蒙古翁牛特旗乌丹二中、呼和浩特二十一中联考高二（上）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、2017-2018学年内蒙古翁牛特旗乌丹二中、呼和浩特二十一中联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知一组数据为8，1，4，x，10，13且这组数的中位数是7，那么数据中的众数是（）A7B6C4D102（5分）某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3，33，48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A28B23C18D133（5分）中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目

2、称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为Nn（modm），例如112（mod3）现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A21B22C23D244（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数5（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值

3、分别为（）A3，5B5，5C3，7D5，76（5分）“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）ABCD7（5分）某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（）ABCD8（5分）下列说法不正确的是（）A若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B命题“xR，x2x10”的否定是“

4、xR，x2x10”C设A，B是两个集合，则“AB”是“ABA”的充分不必要条件D当a0时，幂函数yxa在（0，+）上单调递减9（5分）已知函数f（x）x3+ax2+bx在x1处有极值10，则f（2）等于（）A1B2C2D110（5分）已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）ABCD11（5分）已知f（x）x2+2xf'（2016）2016lnx，则f（2016）（）A2015B2015C2016D201612（5分）已知椭圆的两个焦点是F1，F2，E是直线yx+2与椭圆的一个公共点，当|EF1|+|E

5、F2|取得最小值时椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）命题“xR，x22x+10”的否定是   14（5分）已知函数f（x）lnx3x，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程是   15（5分）双曲线x22y23的渐近线方程是   16（5分）已知直线yx1与椭圆交于A、B两点，则线段AB的长为   三、简答题：（本大题共6小题，17题10分，18-20题12分，共70分）17（10分）为了考查培育的某种植物的生长情况，从试验田中随机抽取100柱该植物进行检测，得到该植物高度的频数分布表如下：组

6、序高度区间频数频率1230，235）140.142235，240）0.263240，245）0.204245，250）305250，255）10合计1001.00（）写出表中处的数据；（）用分层抽样法从第3、4、5组中抽取一个容量为6的样本，则各组应分别抽取多少个个体？（）在（）的前提下，从抽出的容量为6的样本中随机选取两个个体进行进一步分析，求这两个个体中至少有一个来自第3组的概率18（12分）袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1，2，3，4的红球，2个编号为A、B的黑球，现从中任取2个小球（）求所取取2个小球都是红球的概率；（）求所取的2个小球颜色不相同的概率19

7、（12分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B（）若|AB|，求直线l的方程（）求|AB|的最小值20（12分）已知F1，F2分别为椭圆+y21的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2（）求ABF2的周长；（）若AF2BF2，求ABF2的面积21（12分）已知函数f（x）x3+ax2+bx（a，bR）若函数f（x）在x1处有极值4（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在1，2上的最大值和最小值22（12分）函数f（x）lnx（1）当a2时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）在1，e上的最小值为，求a的值2017-20

8、18学年内蒙古翁牛特旗乌丹二中、呼和浩特二十一中联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知一组数据为8，1，4，x，10，13且这组数的中位数是7，那么数据中的众数是（）A7B6C4D10【分析】首先，根据中位数为7，确定x的值，然后，确定其众数即可【解答】解：数据为8，1，4，x，10，13且这组数的中位数是7，（x+4）7，x10，数据中的众数是10，故选：D【点评】本题重点考查了中位数、众数的概念和基本运算，属于中档题2（5分）某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量

9、为4的样本（等距抽样），已知编号为3，33，48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A28B23C18D13【分析】求出抽样间隔f15，由编号为3，33，48号学生在样本中，求出样本中另一个学生的编号为3+1518【解答】解：某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，60随机编号，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），抽样间隔f15，编号为3，33，48号学生在样本中，样本中另一个学生的编号为3+1518故选：C【点评】本题考查样本中学生编号的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算

10、术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为Nn（modm），例如112（mod3）现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A21B22C23D24【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题4（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块

11、地作试验田这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中，中位数

12、将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度故选：B【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用5（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A3，5B5，5C3，7D5，7【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y5，则乙组数据的平

13、均数为：66，故x3，故选：A【点评】本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题6（5分）“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）ABCD【分析】先求出基本事件总数n15，再求出其中金额之和大于等于4有可能的种数，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率【解答】解：所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.

14、19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，基本事件总数n15，其中金额之和大于等于4有可能有：（0.62，3.41），（1.49，3.41），（1.81，2.19），（1.81，3.41），（2.19，3.41），共有5种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率p故选：C【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用7（5分）某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（）ABCD【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出射击

15、中靶点与靶心的距离小于2对应的平面图形的面积，及整个靶子面积的大小，并将它们一齐代入几何概型的计算公式，进行求解【解答】解：整个靶子是下图中所示的大圆，而距离靶心距离小于2用下图中阴影部分的小圆所示：故此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率P故选：B【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P求解8（5分）下列说法不正确的是（）A若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B命题“xR，x

16、2x10”的否定是“xR，x2x10”C设A，B是两个集合，则“AB”是“ABA”的充分不必要条件D当a0时，幂函数yxa在（0，+）上单调递减【分析】逐项判断即可【解答】解：A、p且q为假，根据复合命题的判断方法知，p，q至少有一个为假，故A正确；B、根据特称命题的否定形式知B正确；C、当AB可得ABA，反之，当ABA时，也可推出AB，所以“AB”是“ABA”的充要条件，故C错误；D、由幂函数的性质易知D正确故选：C【点评】本题考查命题的判断，充分必要条件等知识考查学生对基本知识的掌握和运用属于基础题9（5分）已知函数f（x）x3+ax2+bx在x1处有极值10，则f（2）等于（）A1B2C

17、2D1【分析】由函数f（x）x3+ax2+bx 在x1处有极值为10，利用导数的性质列出方程组求出a和b，由此能求出f（2）【解答】解：f（x）x3+ax2+bx，f（x）3x2+2ax+b，函数f（x）x3+ax2+bx 在x1处有极值为10，解得a12，b21，f（x）x312x2+21x，f（2）231222+2122故选：B【点评】本题考查函数值的求法，函数导数的应用，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用10（5分）已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）ABCD【分析】利用三角形是正三角形，推出

18、a，b关系，通过c2，求解a，b，然后等到双曲线的方程【解答】解：双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c2，即，解得a1，b，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力11（5分）已知f（x）x2+2xf'（2016）2016lnx，则f（2016）（）A2015B2015C2016D2016【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x2016代入导函数中，列出关于f'（2016）的方程，进而得到f'（2016）的值【解答】解：f（

19、x）x2+2xf'（2016）2016lnx，则f（x）x+2f'（2016），则f（2016）2016+2f'（2016），则f（2016）2015，故选：B【点评】本题考查了导数的运算，以及函数的值运用求导法则得出函数的导函数，属于基础题12（5分）已知椭圆的两个焦点是F1，F2，E是直线yx+2与椭圆的一个公共点，当|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的离心率为（）ABCD【分析】由题意得（m+2）x2+4（m+1）x+3（m+1）0由0，得m2|EF1|+|EF2|取得最小值，求出m由此能求出椭圆离心率【解答】解：由题意，m0知m+11，由得（m+2）x2+4

20、（m+1）x+3（m+1）0由16（m+1）212（m+2）（m+1）4（m+1）（m2）0，解得m2，或m1（舍去）m2，当且仅当m2时，|EF1|+|EF2|取得最小值：2此时a，c，e故选：D【点评】本题考查椭圆性质的应用，注意合理地进行等价转化二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）命题“xR，x22x+10”的否定是xR，x22x+10【分析】根据命题“xR，x22x+10”是特称命题，其否定为全称命题，即xR，x22x+10从而得到答案【解答】解：命题“xR，x22x+10”是特称命题否定命题为：xR，x22x+10故答案为：xR，x22x+10【点评】本题考

21、查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化14（5分）已知函数f（x）lnx3x，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程是2x+y+10【分析】求出曲线的导函数，把x1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，3）和斜率写出切线的方程即可【解答】解：由函数f（x）lnx3x知f（x）3，把x1代入得到切线的斜率k2，f（1）3，切线方程为：y+32（x1），即2x+y+10故答案为2x+y+10【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程15（5分）双曲线x22y2

22、3的渐近线方程是y【分析】利用双曲线方程，直接求解渐近线方程即可【解答】解：双曲线x22y23的渐近线方程是：x22y20，即y故答案为：y【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题16（5分）已知直线yx1与椭圆交于A、B两点，则线段AB的长为【分析】联立，得7x28x80，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出线段AB的长【解答】解：联立，得7x28x80，64+4782880，设A（x1，y），B（x2，y2），则，|AB|故答案为：【点评】本题考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用三、简答题：（本大题共6小题，17

23、题10分，18-20题12分，共70分）17（10分）为了考查培育的某种植物的生长情况，从试验田中随机抽取100柱该植物进行检测，得到该植物高度的频数分布表如下：组序高度区间频数频率1230，235）140.142235，240）0.263240，245）0.204245，250）305250，255）10合计1001.00（）写出表中处的数据；（）用分层抽样法从第3、4、5组中抽取一个容量为6的样本，则各组应分别抽取多少个个体？（）在（）的前提下，从抽出的容量为6的样本中随机选取两个个体进行进一步分析，求这两个个体中至少有一个来自第3组的概率【分析】（）由频率，利用频数分布表能求出表中处的数

24、据（）抽样比为，由此能求出第3、4、5组中抽取的个体数（）设从第3组抽取的2个个体是甲、乙，第4组抽取的3个个体是a、b、c，第5组抽取的1个个体是d，由此利用列举法能求出这两个个体中至少有一个来自第3组的概率【解答】解：（）由频率，得：，解得26，20，0.30，0.10（4分）（）抽样比为，第3、4、5组中抽取的个体数分别是0.1202，0.1303，0.1101（7分）（）设从第3组抽取的2个个体是甲、乙，第4组抽取的3个个体是a、b、c，第5组抽取的1个个体是d，记事件A为“两个个体都不来自第3组”，则从中任取两个的基本事件为：甲乙、甲a、甲b、甲c、甲d、乙a、乙b、乙c、乙d、ab

25、、ac、ad、bc、bd、cd，共15个，且各基本事件等可能（9分）其中事件“两个个体中至少有一个来自第3组”包含的基本事件为：甲乙、甲a、甲b、甲c、甲d、乙a、乙b、乙c、乙d，共有9个（11分）故两个个体中至少有一个来自第3组的概率（12分）【点评】本题考查频数分布表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用18（12分）袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1，2，3，4的红球，2个编号为A、B的黑球，现从中任取2个小球（）求所取取2个小球都是红球的概率；（）求所取的2个小球颜色不相同的概率【分析】（）利用列举法求出任取2个小球的基本

26、事件总数，用M表示“所取取2个小球都是红球”，利用列举法求出M包含的基本事件个数，由此能求出所取取2个小球都是红球的概率（）用N表示“所取的2个小球颜色不相同”，利用列举法求出N包含的基本事件个数，由此能求出所取的2个小球颜色不相同的概率【解答】解：（）由题意知，任取2个小球的基本事件有：1，2，1，3，1，4，1，A，1，B，2，3，2，4，2，A，2，B，3，4，3，A，3，B，4，A，4，B，A，B，共15个，用M表示“所取取2个小球都是红球”，则M包含的基本事件有：1，2，1，4，2，3，2，4，3，4，共6个，所取取2个小球都是红球的概率：P（M）（）用N表示“所取的2个小球颜色不相

27、同”，则N包含的基本事件有：1，A，1，B，2，A，2，B，3，A，3，B，4，A，4，B，共8个，所取的2个小球颜色不相同的概率：P（N）【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是基础题19（12分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B（）若|AB|，求直线l的方程（）求|AB|的最小值【分析】（）设直线l的方程为：x+my10，代入y24x，整理得，y2+4my40，利用韦达定理和抛物线的定义，能够求出直线l的方程（）由（）知，|AB|4（m2+1）4，由此能求出|AB|的最小值【解答】解：（）设直线

28、l的方程为：x+my10，代入y24x，整理得，y2+4my40设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1+y24m根据抛物线的定义知：|AB|x1+x2+2（1my1）+（1my2）+24（m2+1）若|AB|，则4（m2+1），m即直线l有两条，其方程分别为：x+y10，xy10（）由（）知，|AB|4（m2+1）4，当且仅当m0时，|AB|有最小值4【点评】本题考查直线方程的求法，考查弦的最小值的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线简单性质、韦达定理、均值不等式等知识点的灵活运用20（12分）已知F1，F2分别为椭圆+y21的左、右

29、焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2（）求ABF2的周长；（）若AF2BF2，求ABF2的面积【分析】（I）由椭圆定义得ABF2的周长为4a，由此能求出结果（II）设直线l的方程为xmy1，与椭圆联立，得（m2+2）y22my10由此利用韦达定理、向量垂直的性质、弦长公式，能求出ABF2的面积【解答】解：（I）F1，F2分别为椭圆+y21的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|4a4（3分）（II）设直线l的方程为xmy1，由，得（m2+2）y22my10设A（x1，y

30、1），B（x2，y2），则y1+y2，y1y2，（5分）AF2BF2，0，（x11）（x21）（my12）（my22）+y1y2（m2+1）y1y22m（y1+y2）+42m+40m27（10分）ABF2的面积S|F1F2|（12分）【点评】本题考查三角形的面积及周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义、韦达定理、向量垂直的性质、弦长公式的合理运用21（12分）已知函数f（x）x3+ax2+bx（a，bR）若函数f（x）在x1处有极值4（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在1，2上的最大值和最小值【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f（x）0，解出函数的极值点，

31、最后根据导数判断函数的单调性，从而求解（2）由（1）求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f（x）在1，2上的最大值和最小值【解答】（1）f（x）3x2+2ax+b，依题意有f（1）0，f（1）4，即得（4分）所以f（x）3x2+4x7（3x+7）（x1），由f（x）0，得x1，所以函数f（x）的单调递减区间（，1）（7分）（2）由（1）知f（x）x3+2x27x，f（x）3x2+4x+7（3x+7）（x1），令f（x）0，解得x1，x21f（x），f（x）随x的变化情况如下表： x1 （1，1） 1 （1，2） 2 f'（x） 0+f（x） 8 极小值4 2由

32、上表知，函数f（x）在（1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增故可得f（x）minf（1）4，f（x）maxf（1）8（13分）【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度较大22（12分）函数f（x）lnx（1）当a2时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）在1，e上的最小值为，求a的值【分析】（1）通过函数的导数，利用函数的单调性求解函数的最小值即可（2）对函数求导，然后通过讨论a的取值判断导函数的正负，进而判断函数的单调性当a的范围的讨论，利用函数的最小值求解出相应a的取值【解答】解

33、：（1）当a2时，f（x）lnx，f（x），当x（0，2）时，f（x）0，当x（2，+）时，f（x）0，f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+）上为增函数f（x）minf（2）ln2+1；（2）f（x）+当a1时，对任意x1，e，f（x）0，此时f（x）在1，e上为增函数，f（x）minf（1）a，a当ae时，对任意x1，e，f（x）0，此时f（x）在1，e上为减函数f（x）minf（e）1ae当ea1时，令f（x）0，得xa，当1xa时，f（x）0，f（x）在（1，a）上递减同理，f（x）在（a，e）上递增f（x）minf（a）ln（a）+1，解得a舍去所以a的值为：或【点评】本题主要考查导数的运算及导数在研究函数中的应用