2018-2019学年内蒙古包头市北重三中高二（下）期中数学试卷（文科）含详细解答

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1、2018-2019学年内蒙古包头市北重三中高二（下）期中数学试卷（文科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A4B5C7D82（5分）函数f（x）1+xcosx在（0，2）上的单调情况是（）A单调递增B单调递减C在（0，）上单调递增，在（，2）上单调递减D在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增3（5分）已知ab0，下列不等式中成立的是（）Aa2b2B1Ca4bD4（5分）已知抛物线x24y上的一点P到此抛物线的焦点的距离为2，则点P的纵坐标是（）A0BC1D25（5分）在方

2、程（为参数且R）表示的曲线上的一个点的坐标是（）A（2，7）B（1，0）C（，）D（，）6（5分）函数yf（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A（1，3）为函数yf（x）的递增区间B（3，5）为函数yf（x）的递减区间C函数yf（x）在x0处取得极大值D函数yf（x）在x5处取得极小值7（5分）过双曲线1（a0，b0）的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若OAB的面积为，则双曲线的离心率为（）ABCD8（5分）极坐标方程（1）（）0（0）表示的图形是（）A两个圆B两条直线C一个圆和一条射线D一条直线和一条射线9（5分）设函数的极大值为1，则函数f（x）的极小值为（）

3、AB1CD110（5分）已知函数f（x）ex（x2x+1）m，若函数f（x）有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A（，1）B（1，e3）CD（，1）（e3，+）11（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为（）A2B4C6D812（5分）定义域为R的可导函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）+f（x）0，则下列关系正确的是（）ABCD二填空题：（本大题共4小题，每小题5分）.13（5分）已知函数f（x）x+ex+lnx，则f（1） 14（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线（t为参数）过椭圆（为

4、参数）的右顶点，则常数a的值为 15（5分）若曲线在点（1，a）处的切线方程是x+ya10，则a ；16（5分）设点P在椭圆x2+1上，点Q在直线yx+4上，若|PQ|的最小值为，则m 三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（10分）（1）求不等式|x5|2x+3|1的解集；（2）若正实数a，b满足，求证：18（12分）已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在上的最大值和最小值；（3）求证：19（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，

5、圆C的方程6cos（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|的最小值20（12分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为直线2x+y10与x轴的交点，O为坐标原点（1）求抛物线的方程；（2）若过点A（2，0）的直线l与抛物线相交于B、C两点，求证：21（12分）已知函数f（x）（x1）exax2（1）当a1时，求函数f（x）的极值点（2）若对任意的x0，f（x）+exx3+x，求实数a的取值范围22（12分）已知椭圆+1（ab0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰

6、梯形（1）求椭圆的方程；（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求F2AB面积的最大值2018-2019学年内蒙古包头市北重三中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A4B5C7D8【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m210m，即m6，解得m8故选：D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了2（5分）函数f（x）1+xco

7、sx在（0，2）上的单调情况是（）A单调递增B单调递减C在（0，）上单调递增，在（，2）上单调递减D在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增【分析】先求出函数f（x）的导数，结合三角函数的性质，得到f（x）0，从而得到函数的单调性【解答】解：f（x）1+xcosx，f（x）1+sinx0，f（x）在（0，2）单调递增，故选：A【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题3（5分）已知ab0，下列不等式中成立的是（）Aa2b2B1Ca4bD【分析】利用不等式的基本性质即可判断出【解答】解：ab0，ab0，a2b2，因此A不正确；Bab0，因此B不正确；Cab0，a+b04，

8、a4b，故正确；Dab0，ab0，即，因此D不正确故选：C【点评】熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键4（5分）已知抛物线x24y上的一点P到此抛物线的焦点的距离为2，则点P的纵坐标是（）A0BC1D2【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出yp+12，求得yp【解答】解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y1，根据抛物线定义，yp+12，解得yp1故选：C【点评】本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题5（5分）在方程（为参数

9、且R）表示的曲线上的一个点的坐标是（）A（2，7）B（1，0）C（，）D（，）【分析】先利用二倍角公式将参数方程化成普通方程，再将选项中点逐一代入验证即可【解答】解：cos212sin212x2y方程（为参数且R）表示x2（1y）将点代入验证得C适合方程，故选：C【点评】本题主要考查了抛物线的参数方程化成普通方程，解题的关键是消参，属于基础题6（5分）函数yf（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A（1，3）为函数yf（x）的递增区间B（3，5）为函数yf（x）的递减区间C函数yf（x）在x0处取得极大值D函数yf（x）在x5处取得极小值【分析】利用导数与函数单调性的关系以及函数在

10、某点取得极值的条件即可判断【解答】解：由函数yf（x）导函数的图象可知：当x1及3x5时，f（x）0，f（x）单调递减；当1x3及x5时，f（x）0，f（x）单调递增所以f（x）的单调减区间为（，1），（3，5）；单调增区间为（1，3），（5，+），f（x）在x1，5取得极小值，在x3处取得极大值，故选项C错误；故选：C【点评】本题考查函数的单调性及极值问题，本题以图象形式给出导函数，由此研究函数有关性质，体现了数形结合思想7（5分）过双曲线1（a0，b0）的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若OAB的面积为，则双曲线的离心率为（）ABCD【分析】令xc，则代入yx可得y，根据O

11、AB的面积为，求出双曲线的离心率即可【解答】解：F为右焦点，设其坐标为（c，0），令xc，则代入yx可得y，OAB的面积为，e故选：D【点评】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题8（5分）极坐标方程（1）（）0（0）表示的图形是（）A两个圆B两条直线C一个圆和一条射线D一条直线和一条射线【分析】由题中条件：“（1）（）0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到【解答】解：方程（1）（）01或，1是半径为1的圆，是一条射线故选：C【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区

12、别，能进行极坐标和直角坐标的互化9（5分）设函数的极大值为1，则函数f（x）的极小值为（）AB1CD1【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可【解答】解：，f（x）x21，令f（x）x210，解得x1，当x1或x1时，f（x）0，当1x1时，f（x）0；故f（x）在（，1），（1，+）上是增函数，在（1，1）上是减函数；故f（x）在x1处有极大值f（1）+1+m1，解得mf（x）在x1处有极小值f（1）1+，故选：A【点评】本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键10（5分）已知函数f（x）ex（x2x+1

13、）m，若函数f（x）有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A（，1）B（1，e3）CD（，1）（e3，+）【分析】根据题意，设g（x）ex（x2x+1），求出其导数，利用导数分析其单调区间，据此分析可得g（0）mg（1），解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，令g（x）ex（x2x+1），则g（x）ex（x2+x），当x1或x0时，g（x）0，g（x）在区间（，1）和（0，+）单调递增，当1x0时g（x）0，g（x）在区间（1，0）单调递减若函数f（x）有三个不同的零点，即直线ym 与函数g（x）有三个交点，必有g（0）mg（1），而g（0）1，g（1），故选：C【点评】本题

14、主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的零点，函数与方程的关系，属于基础题11（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为（）A2B4C6D8【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可【解答】解：设抛物线为y22px，如图：|AB|4，|AM|2，|DE|2，|DN|，|ON|，xA，|OD|OA|，+5，解得：p4C的焦点到准线的距离为：4故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力转化思想的应用12（5分）定义域为R的可导函数f（x）

15、的导函数为f（x），且满足f（x）+f（x）0，则下列关系正确的是（）ABCD【分析】令g（x）exf（x），求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而比较函数值的大小【解答】解：令g（x）exf（x），则g（x）exf（x）+f（x）0，g（x）R递减，故g（1）g（0）g（1），即ef（1）f（0），故选：A【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题二填空题：（本大题共4小题，每小题5分）.13（5分）已知函数f（x）x+ex+lnx，则f（1）2+e【分析】根据题意，求出函数的导数，将x1代入导数的解析式，计算可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）x+

16、ex+lnx，其导数f（x）1+ex+，则f（1）2+e，故答案为：2+e【点评】本题考查导数的运算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题14（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线（t为参数）过椭圆（为参数）的右顶点，则常数a的值为3【分析】直线l消去参数得xya0，椭圆C的普通方程为1，椭圆C的右项点为（3，0），由此利用直线l过椭圆C的右顶点，能求出a【解答】解：直线（t为参数）消去参数得xya0，椭圆（为参数）消去参数得椭圆C的普通方程为1，椭圆C的右项点为（3，0），直线l过椭圆C的右顶点，30a0，解得a3故答案为：3【点评】本题考查实数的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方

17、程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题15（5分）若曲线在点（1，a）处的切线方程是x+ya10，则a5；【分析】求出导数，利用曲线yf（x）在点（1，a）处的切线方程为x+ya10，建立方程求a的值；【解答】解：根据题意可求得f（x）4x，曲线在点（1，a）处的切线方程是x+ya10，f（1）4a1，解得a5，故答案为：5【点评】本题考查利用函数的导数求解切线方程，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题16（5分）设点P在椭圆x2+1上，点Q在直线yx+4上，若|PQ|的最小值为，则m3【分析】求出与直线yx+4平行且距离为的直线方程

18、，利用该直线与椭圆相切，0，从而求出m的值【解答】解：根据题意知，椭圆x2+1（m0），与直线yx+4平行且距离为的直线方程为yx+2或yx+6（舍去），则，消去y，得（m+1）x2+4x+4m0，令164（m+1）（4m）0，解得m3故答案为：3【点评】本题考查了直线与椭圆方程的应用问题，也考查了方程与转化思想，是基础题目三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（10分）（1）求不等式|x5|2x+3|1的解集；（2）若正实数a，b满足，求证：【分析】（1）利用绝对值不等式的意义，通过x的讨论 去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可（2）利用分析法的证明方法，推出

19、不等式成立的充分条件即可【解答】解：（1）当时，x+5+2x+31，解得x7，；当时，x+52x31，解得，；当x5时，x5（2x+3）1，解得x9，舍去综上，故原不等式的解集为（2）证明：要证，只需证，即证，即证，而，所以成立，所以原不等式成立【点评】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查计算能力18（12分）已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在上的最大值和最小值；（3）求证：【分析】（1）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；（2）由（1）可得f（x）的最大值，再计算端点处的函数值，比较，可得最小值；（3）运用分析法

20、证明，要证，即为2lnx1+，即有1lnx0设g（x）1lnx，求出导数和单调区间，可得极值，也为最值，即可得证【解答】解：（1）函数的导数为f（x），x0，当x1时，f（x）0，f（x）递减；当0x1时，f（x）0，f（x）递增则f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+）；（2）由（1）可得f（x）在x1处取得极大值，且为最大值0，又f（）1eln2e，f（e）1lne，2e，可得f（x）的最小值为2e；（3）证明：要证，即证lne2lnx1+，即为2lnx1+，即有1lnx0设g（x）1lnx，g（x）+，当x1时，f（x）0，f（x）递减；当0x1时，f（x）0，f（x）递增可得g

21、（x）在x1处取得极大值，且为最大值0可得g（x）0，即有1lnx0故原不等式成立【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用分析法，构造函数法，求得最值，考查化简整理运算能力，属于中档题19（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程6cos（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|的最小值【分析】（1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程进行转换（2）利用一元二次方程根和系数

22、的关系式求出结果【解答】解：（1）圆C的方程6cos，转换为直角坐标方程为：（x3）2+y29，（2）将直线l的参数方程（t 为参数），代入圆的方程，得到：t2+2（cossin）t70，所以：t1+t22（cossin），t1t27，故：|PA|+|PB|，所以最小值为【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用20（12分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为直线2x+y10与x轴的交点，O为坐标原点（1）求抛物线的方程；（2）若过点A（2，0）的直线l与抛物线相交于B、C两点，求证：【分析】（1）求得直线

23、与x轴的交点，可得p的值，即可得到抛物线的方程；（2）当l的斜率不存在时，l的方程为x2，当l的斜率存在时，设l的方程为yk（x2），与抛物线方程联立，利用向量知识求解即可【解答】解：（1）抛物线y22px（p0）的焦点为直线2x+y10与x轴的交点（，0），可得，即p1，可得抛物线的方程为y22x；（2）当l的斜率不存在时，l的方程为x2，此时B（2，2），C（2，2），即（2，2），（2，2），有440，可得；当l的斜率存在时，设l的方程为yk（x2）设B（x1，y1），C（x2，y2），方程组得k2x2（4k2+2）x+4k20，ky22y4k0x1x24，y1y24，x1x2+y1y2

24、440，OBOC由可得【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确设出直线方程是关键21（12分）已知函数f（x）（x1）exax2（1）当a1时，求函数f（x）的极值点（2）若对任意的x0，f（x）+exx3+x，求实数a的取值范围【分析】（1）代入a1求导使f（x）0，求得x，判断x，根据位于x两边的导函数符号判断极小值还是极大值（2）f（x）+exx3+x等价于a对任意的x0恒成立【解答】解：（1）f（x）x（ex2）0，x0或xln2，当x0，f（x）0，x0，f（x）0，x0是函数的极大值点xln2，f（x）0，xln2，

25、f（x）0，xln2是函数的极小值点（2）由f（x）（x1）exax2得xexx3ax2x0当x0时，exx2ax10，即a对任意的x0恒成立设g（x），则g（x）设h（x）exx1，则h（x）ex1x0，h（x）0，h（x）在（0，+）单调递增，h（x）h（0）0，即exx+1，g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，g（x）g（1）e2，ae2，a的取值范围是（，e2）【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，构造法以及二次导数的应用，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知椭圆+1（ab0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（a，b）、N（

26、a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形（1）求椭圆的方程；（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求F2AB面积的最大值【分析】解：（1）由题意知b，3，即a+c3，又a23+c2，联立解得a，c，；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为xky1，代入椭圆方程消掉x得y的二次方程，F2AB的面积S|y1y2|，由韦达定理代入面积表达式变为k的函数，适当变形借助函数单调性即可求得S的最大值；【解答】解：（1）由题意知b，3，所以a+c3，又a2b2+c2，即a23+c2，联立解得a2，c1，所以椭圆方程为：；（2）由（1）知F1（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为xky1，由得（3k2+4）y26ky90，0成立，且，F2AB的面积S|y1y2|12，又k20，所以递增，所以9+1+616，所以3，当且仅当k0时取得等号，所以F2AB面积的最大值为3【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查函数思想，解决（2）问的关键是合理表示三角形面积并对表达式恰当变形