2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（下）期中数学试卷（理科）含详细解答

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1、2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合Mx|ln（x+1）0，Nx|2x2，则MN（）A（0，2）B0，2）C（0，2D0，22（5分）i为虚数单位，若复数（1+mi）（1+i）是纯虚数，则实数m（）A1B0C1D0或13（5分）设函数f（x），则满足f（x）2的x的取值范围是（）A1，2B1，1）（1，4C1，1）（1，2D1，44（5分）（x2+2）3展开式中的常数项为（）A8B12C20D205（5分）已知a、b、c是直线，是平面，给出下

2、列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a与b异面，且a，则b与相交；若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直其中真命题的个数是（）A1B2C3D46（5分）设aR，若函数ylnx+2ax在（1，2）上有极值，则实数a的取值范围是（）A（）B（）C（）D（）7（5分）过圆x2+y216上一点P作圆O：x2+y2m2（m0）的两条切线，切点分别为A、B，若，则实数m（）A2B3C4D98（5分）曲线yex+1在点（0，2）处的切线与直线x0和y2x所围成的三角形面积为（）ABC4D19（5分）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f（

3、x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（2）0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A（2，0）（2，+）B（2，0）（0，2）C（，2）（2，+）D（，2）（0，2）10（5分）若一个三位数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第26个“单重数”是（）A171B181C191D18811（5分）由偶数组成的数阵如图：则第21行第4列的数为（）A594B546C592D64412（5分）已知双曲线E：1（a0，b0）的右顶点为A，抛物线C：y216ax的焦点为F，若在E的渐近线上存在点P，使得

4、PAPF，则E的离心率的取值范围是（）A（1，2）B（1，C（2，+）D）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡指定位置）13（5分）等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为   14（5分）庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”庙会大多在春节、元宵节等节日举行庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测

5、结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是   15（5分）现有分别印有0，1，3，5，7，9六个数字的六张卡片，如果允许9可以当6使用，那么从中任意抽出三张，可以组成不同的三位数有   个（数字作答）16（5分）已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB2，SASBSC2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是   三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）在ABC中，已知

6、a2+c2b2mac，其中mR（）判断m能否等于3，并说明理由；（）若m1，c4，求sinA18（12分）已知x2是函数f（x）（x2+ax2a3）ex的一个极值点（e2.718）（）求实数a的值；（）求函数f（x）在的最大值和最小值19（12分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示（）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读

7、达人”设a3，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望（）记甲组阅读量的方差为s02在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为s12；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为s22，试比较s02，s12，s22的大小（结论不要求证明）20（12分）如图，在四棱锥EABCD中，平面ABCD平面AEB，且四边形ABCD为矩形，BAE120，AEAB4，AD2，F，G分别为BE，AE的中点，H在线段BC上（不包括端点）（）求证：CD平面FGH；（）求证：平面DAF平面CEB；（）是否存在点H，使得二面角HGFB的大小为？若存在，求

8、；若不存在，说明理由21（12分）已知点B（4，0）和点C（4，0），分别过点B，C的直线m，n相交于点A，设直线m，n的斜率分别为k1，k2（）如果k1k2a（a0），求点A的轨迹方程，并根据a的取值讨论此轨迹是何种曲线；（）设（）中的曲线为C，若不平行于坐标轴的直线l与曲线C交于点M，N，线段MN的中点为Q，O为坐标原点，设直线MN与OQ的斜率分别为kMN，kOQ，求证：kMNkOQa22（12分）已知函数f（x）x2+alnx，g（x）（a+1）x，a1（）若函数f（x），g（x）在区间1，3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；（）若a（1，e（e2.71828），设F

9、（x）f（x）g（x），求证：当x1，x21，a时，不等式|F（x1）F（x2）|1成立2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合Mx|ln（x+1）0，Nx|2x2，则MN（）A（0，2）B0，2）C（0，2D0，2【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出MN【解答】解：集合Mx|ln（x+1）0x|x0，Nx|2x2，MNx|0x2（0，2故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力

10、，是基础题2（5分）i为虚数单位，若复数（1+mi）（1+i）是纯虚数，则实数m（）A1B0C1D0或1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（1+mi）（1+i）（1m）+（1+m）i是纯虚数，即m1故选：C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5分）设函数f（x），则满足f（x）2的x的取值范围是（）A1，2B1，1）（1，4C1，1）（1，2D1，4【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论当x1和x1时，对应的取值范围即可【解答】解：若x1，由f（x）2得2x2，得x1，得x1，此时1x1，若x1，由f（x）2得log2x2，得0

11、x4，此时1x4，综上1x4，即实数x的取值范围是1，4，故选：D【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的表达式，利用分类讨论的思想进行求解是解决本题的关键4（5分）（x2+2）3展开式中的常数项为（）A8B12C20D20【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值【解答】解：二项式（x2+2）3可化为（x）6，展开式的通项公式为Tr+1（1）rx62r令x的幂指数62r0，解得r3，故展开式中的常数项为20，故选：C【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题5（5分）已知a、b

12、、c是直线，是平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a与b异面，且a，则b与相交；若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直其中真命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】由题意根据线线位置关系的定义、线面平行的定义和等角定理去判断【解答】解：不正确，a与c可能相交或异面；正确，由等角定理判断；不正确，a与b无公共点，它们平行或异面；不正确，a与b异面，且a，b可以满足条件；不正确，只要有一条直线l和a、b垂直，则与l平行的直线都满足故选：A【点评】本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理和定义进行判断，考查了学生空间想象能

13、力6（5分）设aR，若函数ylnx+2ax在（1，2）上有极值，则实数a的取值范围是（）A（）B（）C（）D（）【分析】函数ylnx+2ax在（1，2）上有极值y0在区间（1，2）有零点并且两侧的导函数符号相反，求出函数的导数（x0）可得f（1）f（2）0，解出即可【解答】解：aR，若函数ylnx+2ax在（1，2）上有极值y0在区间（1，2）有零点并且两侧的导函数符号相反，f（x）+2a（x0）f（1）f（2）0，（1+2a）（+2a）0，解得aa取值范围为（）故选：B【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值点转化为函数的零点的判断方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题7（5分）过圆x2

14、+y216上一点P作圆O：x2+y2m2（m0）的两条切线，切点分别为A、B，若，则实数m（）A2B3C4D9【分析】根据题意画出图形，结合图形，不妨取圆x2+y216上一点P（4，0），过P作圆O：x2+y2m2（m0）的两条切线PA、PB，求出时OA的值即可【解答】解：如图所示；取圆x2+y216上一点P（4，0），过P作圆O：x2+y2m2（m0）的两条切线PA、PB，当时，AOP，且OAAP，OP4；OAOP2，则实数mOA2故选：A【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题8（5分）曲线yex+1在点（0，2）处的切线与直线x0和y2x所围成的三角

15、形面积为（）ABC4D1【分析】求出原函数的导函数，得到曲线yex+1在点（0，2）处的切线方程，画出图形，利用三角形面积公式求解【解答】解：由yex+1，得yex，则y|x01，曲线yex+1在点（0，2）处的切线方程为yx+2，如图：联立，解得所求三角形面积为S故选：B【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数形结合的解题思想方法，是中档题9（5分）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（2）0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A（2，0）（2，+）B（2，0）（0，2）C（，2）（2，+）D（，2

16、）（0，2）【分析】设F（x）f （x）g（x），由条件可得F（x）在（，0）上为增函数，得F（x）在（0，+）上也为增函数由g（2）0，必有F（2）F（2）0，构造如图的F（x）的图象，可知F（x）0的解集【解答】解：设F（x）f （x）g（x），当x0时，F（x）f（x）g（x）+f （x）g（x）0，F（x）在（，0）上为增函数F（x）f （x）g （x）f （x）g （x）F（x），故F（x）为（，0）（0，+）上的奇函数F（x）在（0，+） 上亦为增函数已知g（2）0，必有F（2）F（2）0，构造如图的F（x）的图象，可知F（x）0的解集为x（，2）（0，2）故选：D【点评】题主要考

17、查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系，函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题10（5分）若一个三位数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第26个“单重数”是（）A171B181C191D188【分析】根据题意，分2种情况求出200以内的“单重数”的个数为27，据此分析其中最大的“单重数”，即可得答案【解答】解：根据题意，在符合条件的三位数中，有两个1且1在百位的有C91218个，1在首位但不是重复数字的有100，122，133，144，155，166，177，188，19

18、9，共9个，则200以内的“单重数”有18+927个，其中最大的为199，其次为191，则从小到大排列第26个“单重数”是191；故选：C【点评】本题考查排列组合的应用，涉及合情推理的运用，关键是理解“单重数”的定义，属于基础题11（5分）由偶数组成的数阵如图：则第21行第4列的数为（）A594B546C592D644【分析】先观察再进行归纳推理得：第一列的数设为数列，则有a12，anan12n，解得ann2+n，即第21行的第一个数为212+21462，由图可知，则第21行第4列的数为462+42+44+46594，得解【解答】解：由图可知，第一列的数设为数列，则有a12，anan12n，解

19、得ann2+n，即第21行的第一个数为212+21462，由图可知，则第21行第4列的数为462+42+44+46594，故选：A【点评】本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题12（5分）已知双曲线E：1（a0，b0）的右顶点为A，抛物线C：y216ax的焦点为F，若在E的渐近线上存在点P，使得PAPF，则E的离心率的取值范围是（）A（1，2）B（1，C（2，+）D）【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设P（m，m），利用向量的垂直的条件得关于m的一元二次方程，再由二次方程的判别式大于等于0，化简整理即可求得离心率的范围【解答】解：双曲线E：1（a0，b0）的右顶点为A

20、（a，0），抛物线C：y216ax的焦点为F（4a，0），双曲线的渐近线方程为yx，可设P（m，m），即有（ma，m），（m4a，），由PAFP，得，可得0，即为（ma）（m4a）+m20，化为（1+）m25am+4a20，由题意可得25a24（1+）4a20，即有9a216b216（c2a2），即16c225a2，则e由e1，可得1e故选：B【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件，考查运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡指定位置）13（5分）等比数列an的前n项和为Sn，已知

21、S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为【分析】先根据等差中项可知4S2S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，ana1qn1，又4S2S1+3S3，即4（a1+a1q）a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案为【点评】本题主要考查了等比数列的性质属基础题14（5分）庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”庙会大多在春节、元宵节等节日举行庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）今年春节期间，

22、某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是甲【分析】做出由四人的预测表，然后分析四个人的话，能够求出结果【解答】解：由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲乙丙丁1）若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意2）若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意3）若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意4）若丁中奖，乙、丁预测正确，不

23、符合题意故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确故答案为：甲【点评】本题本题考查学生的逻辑推理能力，是中档题15（5分）现有分别印有0，1，3，5，7，9六个数字的六张卡片，如果允许9可以当6使用，那么从中任意抽出三张，可以组成不同的三位数有152个（数字作答）【分析】根据题意，分4种情况讨论：、取出的三张卡片中有0也有9，、取出的三张卡片中没有0也没有9，、取出的三张卡片中有0但没有9，、取出的三张卡片中有9但没有0，分别求出每一种情况的三位数数目，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：、取出的三张卡片中有0也有9：有2C41C21A2232种情况，可以组成32个不同的三位

24、数；、取出的三张卡片中没有0也没有9：有A4324种情况，、取出的三张卡片中有0但没有9：有C42C21A2224种情况，可以组成24个不同的三位数；、取出的三张卡片中有9但没有0：有2C42A3372种情况，可以组成72个不同的三位数；则一共可以组成32+24+24+72152；故答案为：152【点评】本题考查排列、组合的综合应用，涉及分类计数原理的应用，注意依据题意进行分情况讨论，一定做到不重不漏16（5分）已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB2，SASBSC2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是【分析】据三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，

25、SASBSC，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，SH平面ABC，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OH为O与平面ABC的距离，由此可得结论【解答】解：三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SASBSC，S在面ABC上的射影为AB中点H，SH平面ABCSH上任意一点到A、B、C的距离相等SH，CH1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心SC2，SM1，OSM30，SO，OH，即为O与平面ABC的距离故答案为【点评】本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定OH是O与平面ABC的距离

26、是关键三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）在ABC中，已知a2+c2b2mac，其中mR（）判断m能否等于3，并说明理由；（）若m1，c4，求sinA【分析】（）当m3时，由题可知 a2+c2b23ac，由余弦定理b2a2+c22accosB，化简求得cosB，即可判断出结论（II）由（），得 ，可得B由，c4，a2+c2b2ac，解得a，再利用正弦定理即可得出【解答】解：（）当m3时，由题可知 a2+c2b23ac，由余弦定理b2a2+c22accosB，（3分）得        （4分）这与cosB1，1矛盾，所以m不可

27、能等于3（6分）（）由（），得 ，所以（7分）因为，c4，a2+c2b2ac，所以a2+16284a，解得a6（舍）或a2（9分）在ABC中，由正弦定理，（11分）得（13分）【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）已知x2是函数f（x）（x2+ax2a3）ex的一个极值点（e2.718）（）求实数a的值；（）求函数f（x）在的最大值和最小值【分析】（）由x2是函数f（x）（x2+ax2a3）ex的一个极值点可得到x2是f（x）0的根，从而求出a；（）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与

28、最小值【解答】解：（）由f（x）（x2+ax2a3）ex可得f（x）（2x+a）ex+（x2+ax2a3）exx2+（2+a）xa3ex（4分）x2是函数f（x）的一个极值点，f（2）0（a+5）e20，解得a5（6分）（）由f（x）（x2）（x1）ex0，得f（x）在（，1）递增，在（2，+）递增，由f（x）0，得f（x）在（1，2）递减f（2）e2是f（x）在的最小值；（8分），f（3）e3最大值为e3，最小值为e2【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题19（12分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动

29、后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示（）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”设a3，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望（）记甲组阅读量的方差为s02在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为s12；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为s22，试比较s02，s12，s22的大小（结论不要求证明）【分析】（）由茎叶图分别

30、求出甲组10名学生阅读量的平均值和乙组10名学生阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值（）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望（）【解答】（本小题满分13分）解：（）甲组10名学生阅读量的平均值为，乙组10名学生阅读量的平均值为（2分）由题意，得，即a2（3分）故图中a的取值为0或1（4分）（）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人由题意，随机变量X的所有可能取值为：1，2，3（5分）且，（8分）所以随机变量X的分布列为：X123P（9分）所以（10分）（）（

31、13分）【点评】本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）如图，在四棱锥EABCD中，平面ABCD平面AEB，且四边形ABCD为矩形，BAE120，AEAB4，AD2，F，G分别为BE，AE的中点，H在线段BC上（不包括端点）（）求证：CD平面FGH；（）求证：平面DAF平面CEB；（）是否存在点H，使得二面角HGFB的大小为？若存在，求；若不存在，说明理由【分析】（）推导出FGAB，且FG，从而CDFG，由此能证明CD平面FGH（）推导出AD平面AEB，从而ADBE，再推导出AFBE，从而BE平面ADF，由此能证明平面

32、DAF平面CEB（）在平面ABE内过点A作AB的垂线，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能求出存在点H，使得二面角HGFB的大小为，且【解答】证明：（）在矩形ABCD中，CDAB，F，G分别为BE，AE的中点，FGAB，且FG，CDFG，CD平面FGH，FG平面FGH，CD平面FGH（）在矩形ABCD中，ADAB，矩形ABCD平面AEB，且平面ABCD平面AEBAB，AD平面AEB，又BE平面AEB，ADBE，AEAB，F为BE的中点，AFBE，又ADAFA，BE平面ADF，BE平面CEB，平面DAF平面CEB解：（）在平面ABE内过点A作AB的垂线，如图建立空间直角坐标系Axyz，BAE

33、120，AEAB4，AD2，A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，2），设，H（0，4，2），设平面FGH的法向量为，即令x2，则，是平面FGH的一个法向量，AD平面AEB，平面AEB的法向量为，二面角HGFB的大小，解得，H在BC上，存在点H，使得二面角HGFB的大小为，且【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角大小的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21（12分）已知点B（4，0）和点C（4，0），分别过点B，C的直线m，n相交于点A，设直线m，n的斜率分别为k1，k2（）如果k1k2a（a

34、0），求点A的轨迹方程，并根据a的取值讨论此轨迹是何种曲线；（）设（）中的曲线为C，若不平行于坐标轴的直线l与曲线C交于点M，N，线段MN的中点为Q，O为坐标原点，设直线MN与OQ的斜率分别为kMN，kOQ，求证：kMNkOQa【分析】（）令A（x，y），由k1k2a，得（x4），整理得点A的轨迹方程为然后分a0，a0且a1和a1三类得点A的轨迹；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0），则2x0x1+x2，2y0y1+y2，然后利用“点差法”证明kMNkOQa【解答】（）解：令A（x，y），k1k2a，（x4），化简得（x4）点A的轨迹方程为；当a0时，点A的轨迹为双曲线当

35、a0且a1时，点A的轨迹为椭圆当a1时，点A的轨迹为圆；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0），则2x0x1+x2，2y0y1+y2，由（）知曲线C的方程为，即ax2y216a，M，N在曲线C上，得a（x1x2）（x1+x2）（y1y2）（y1+y2），即kMNkOQa【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题22（12分）已知函数f（x）x2+alnx，g（x）（a+1）x，a1（）若函数f（x），g（x）在区间1，3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；（）若a（1，e（e2.71828），设F（x）f（x）

36、g（x），求证：当x1，x21，a时，不等式|F（x1）F（x2）|1成立【分析】（）由题意得f（x）g（x）（x+）（a+1）（a+1）0，当x1，3时，或恒成立，求得x2的最值，即可得出结论；（）由题意得F（x）f（x）g（x）x2+alnx（a+1）x，利用导数研究函数的单调性及极值、最值，即可得出结论【解答】解：（I）f（x）x+，g（x）a+1，f（x），g（x）在区间1，3上都为单调函数，且它们的单调性相同，f（x）g（x）（x+）（a+1）（a+1）0，x1，3，（a+1）（a+x2）0，当x1，3时，或恒成立，9x21，a1或a9（）F（x）f（x）g（x）x2+alnx（a+

37、1）x，F（x）x+（a+1），F（x）定义域是（0，+），a（1，e，即a1，F（x）在（0，1）是增函数，在（1，a）是减函数，在（a，+）是增函数当x1时，F（x）取极大值MF（1）a，当xa时，F（x）取极小值mF（a）alnaa2a，x1，x21，a，|F（x1）F（x2）|Mm|Mm，设G（a）Mma2alna，则G（a）alna1，G（a）1，a（1，e，G（a）0，G（a）alna1，在a（1，e是增函数，G（a）G（1）0，G（a）a2alna，在a（1，e也是增函数G（a）G（e），即G（a）1，而111，G（a）Mm1，当x1，x21，a时，不等式|F（x1）F（x2）|成立【点评】本题考查导数在求函数单调性中的运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用