2018-2019学年内蒙古赤峰市宁城县高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2018-2019学年内蒙古赤峰市宁城县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1（5分）已知集合Px|x22x3，Qx|2x4，则PQ（）A3，4）B（2，3C（1，2）D（1，32（5分）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）Ap：x1，q：x2xBp：|a|b|，q：a2b2Cp：xa2+b2，q：x2abDp：a+cb+d，q：ab且cd3（5分）等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为（）A1BC1或D1或4（5分）曲线f（x）xlnx在点x1处的切线方程为（）Ay2x+2By2x2Cyx1Dyx+15（5分）已知|1，|2

2、，（）0，则向量与的夹角为（）ABCD6（5分）曲线1与曲线1（k9）的（）A长轴长相等B短轴长相等C离心率相等D焦距相等7（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若1，则公差d为（）A2B4C5D68（5分）设F为抛物线C：y24x的焦点过F且倾斜角为60的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|（）A8BC16D9（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，则下面说法正确的是（）A在（2，1）上f（x）是增函数B在（1，3）上f（x）是减函数C当x1时，f（x）取极大值D当x2时，f（x）取极大值10（5分）用一个平面去截正方体，则截面的形状可以是：直角三角形；正五边形；正六边形；

3、梯形正确结论的序号为（）ABCD11（5分）已知A（1，0），B是圆F：x22x+y2110（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为（）ABCD12（5分）设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13（5分）已知ABC中，AB2，C45，则ABC外接圆的半径为 14（5分）若x，y满足约束条件则的最大值为 15（5分）在数列an中，已知a11

4、，记Sn为数列an的前n项和，则S2019 16（5分）如图，树顶A离地面9.5米，树上另一点B离地面3.5米，欲使小明从离地面1.5米处（即点C距离地面1米）看A，B两点的视角最大，则他应离此树 米三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2ac）cosBbcosC（1）求角B；（2）若ABC的面积为，求sinAsinC的值18（12分）设an是公比为正数的等比数列，若a12，且2a2，a3，8成等差数列（1）求an的通项公式；（2）设，求证：数列bn的前n项和Tn119（12分）某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用

5、为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元（1）问第几年开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船；方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船问：哪一种方案合算？请说明理由20（12分）已知直线l与抛物线C：y22x交于点A，B两点，与x轴交于点M，直线OA，OB的斜率之积为（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆P交x轴于E，F两点，O为坐标原点，求|OE|OF|的值21（12分）如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为正方形，AE平面CDE，已知AEDE2，F为线段DE的中点（）求证：CD平面ADE；（）求二面角CB

6、FE的平面角的余弦值22（12分）已知函数f（x）sinxxcosx，（1）求证：f（x）0；（2）若在上恒成立，求a的最大值与b的最小值2018-2019学年内蒙古赤峰市宁城县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1（5分）已知集合Px|x22x3，Qx|2x4，则PQ（）A3，4）B（2，3C（1，2）D（1，3【分析】求出集合P，然后求解交集即可【解答】解：集合Px|x22x3x|x1或x3，Qx|2x4，则PQx|3x43，4）故选：A【点评】本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力2（5分）下列选项中，p是q的

7、必要不充分条件的是（）Ap：x1，q：x2xBp：|a|b|，q：a2b2Cp：xa2+b2，q：x2abDp：a+cb+d，q：ab且cd【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可得到结论【解答】解：A当x1时，x2x成立，p是q的充分条件B当|a|ba2b2，p是q的充要条件，C当xa2+b2时x2ab成立，p是q的充分条件，D当ab，cd时，a+cb+d成立，但ab且cd不成立，当ab且cd时，a+cb+d成立，即p是q的必要不充分条件，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础3（5分）等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为（）A1BC

8、1或D1或【分析】当公比q1时，满足S321；当公比q1时，可得S3+721，解方程可得【解答】解：等比数列an中，a37，前3项之和S321，当公比q1时，a1a2a37，满足S321；当公比q1时，可得S3+721，解得q或q1（舍去），综上可得公比q的值为：1或故选：D【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题4（5分）曲线f（x）xlnx在点x1处的切线方程为（）Ay2x+2By2x2Cyx1Dyx+1【分析】求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程【解答】解：求导函数，可得ylnx+1x1时，y1，y0曲线yxlnx在点x1处的切线方程是yx

9、1即yx1故选：C【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题5（5分）已知|1，|2，（）0，则向量与的夹角为（）ABCD【分析】由向量的数量积运算及向量的夹角得：20，即|cos2，又|1，|2，即cos，又0，则可得解【解答】解：由（）0得：20，即|cos2，又|1，|2，所以cos，又0，所以，故选：C【点评】本题考查了向量的数量积运算及向量的夹角，属简单题6（5分）曲线1与曲线1（k9）的（）A长轴长相等B短轴长相等C离心率相等D焦距相等【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断【解答】解：曲线1表示焦点在x轴上，长轴长为

10、10，短轴长为6，离心率为，焦距为8曲线1（k9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8对照选项，则D正确故选：D【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题7（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若1，则公差d为（）A2B4C5D6【分析】根据等差数列的性质可得：为等差数列，公差为，即可得出【解答】解：根据等差数列的性质可得：为等差数列，由1，即3，解得d6故选：D【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）设F为抛物线C：y24x的焦点过F且倾斜角为60的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|（

11、）A8BC16D【分析】根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2，由抛物线的性质可知|AB|p+x1+x2，解得可得所求值【解答】解：抛物线C：y24x的焦点（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），F且倾斜角为60的直线y（x1），整理得3x210x+30，由韦达定理可知x1+x2，由抛物线的定义可知：|AB|p+x1+x22+，故选：D【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查计算能力，属于中档题9（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，则下面说法正确的是（）A在（

12、2，1）上f（x）是增函数B在（1，3）上f（x）是减函数C当x1时，f（x）取极大值D当x2时，f（x）取极大值【分析】根据已知中函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，分析函数的单调性和极值，进而可得答案【解答】解：在（2，1）上，f（x）0，f（x）是减函数，故A错误；在（1，2）上，f（x）0，f（x）是增函数，故B错误；在（1，2）上，f（x）0，f（x）是增函数，故1不是函数的极大值点，故C错误；在（1，2）上，f（x）0，f（x）是增函数，在（2，4）上，f（x）0，f（x）是减函数，故当x2时，f（x）取极大值；故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的图象，利用导数研究函数的单

13、调性和极值，难度不大，属于基础题10（5分）用一个平面去截正方体，则截面的形状可以是：直角三角形；正五边形；正六边形；梯形正确结论的序号为（）ABCD【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项【解答】解：画出截面图形如图：可以画出三角形但不是直角三角形，故错误；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形但此时不可能是正五边形，故错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故正确；可以画出梯形但不是直角梯形，故正确故选：C【点评】本题是基础题，考查学生作图能力，判断能力，以及逻辑思维能力，明确几何图形的特征，是解好本题的关键11（5分）

14、已知A（1，0），B是圆F：x22x+y2110（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为（）ABCD【分析】利用椭圆的定义判断点P的轨迹 是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程【解答】解：由题意得 圆心F（1，0），半径等于2，|PA|PB|，|PF|+|PA|PF|+|PB|BF|半径2|AF|，故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，2a2，c1，b，椭圆的方程为1 故选：D【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义求轨迹是解题的难点12（5分）设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）0，当x0时，xf（x）f（

15、x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）【分析】由已知当x0时总有xf（x）f（x）0成立，可判断函数g（x）为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，数形结合解不等式组即可【解答】解：设g（x），则g（x）的导数为：g（x），当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）为减函数，又g（x）g（x），函数g

16、（x）为定义域上的偶函数又g（1）0，函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）0xg（x）0或，0x1或x1故选：A【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13（5分）已知ABC中，AB2，C45，则ABC外接圆的半径为【分析】根据题意得到边角的关系，进而判断出利用正弦定理求解外接圆的半径【解答】解：设ABC的外接圆半径为R，因为在ABC中AB4，C45，所以根据正弦定理可得：2R2，所以R故答案为：【点评】本题考查了有关三角形以及外接圆问题，本题主要利用正弦定理解决外接圆的半

17、径问题，属于基础题14（5分）若x，y满足约束条件则的最大值为3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）设k，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），kOA3，即的最大值为3故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15（5分）在数列an中，已知a11，记Sn为数列an的前n项和，则S2019【分析】计算数列的前几项，可得数列an是以3为周期的数列，计

18、算可得所求和【解答】解：在数列an中，已知a11，可得a2，a32，a41，a5，可得数列an是以3为周期的数列，则S2019673（a1+a2+a3）673（12）故答案为：【点评】本题考查数列的周期和运用：求和，注意分析数列的前几项的特点，考查运算能力和推理能力，属于基础题16（5分）如图，树顶A离地面9.5米，树上另一点B离地面3.5米，欲使小明从离地面1.5米处（即点C距离地面1米）看A，B两点的视角最大，则他应离此树4米米【分析】设他应离此树x米，进而表示出tanBCD与tanACD，利用两角和与差的正切函数公式表示出tanACB，利用基本不等式求出视角最大时x的值即可【解答】解：设

19、小明应离此树x米，如图所示，在RtBCD中，BD2米，CDx米，tanBCD，在RtACD中，AD8米，CDx米，tanACD，在ABC中，tanACBtan（ACDBCD），x+28，当且仅当x，即x4时取等号，则小明应离此树4米故答案为：4【点评】本题考查了正弦定理，以及直角三角形的边角关系应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2ac）cosBbcosC（1）求角B；（2）若ABC的面积为，求sinAsinC的值【分析】（1）（法一）：由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2

20、sinAcosBsinA，结合sinA0，可求，结合范围0B，可求B的值；（法二）由余弦定理得a2+b2c2ac，可求cosB的值，结合范围0B，可求（2）利用三角形面积公式可求ac4，进而根据余弦定理可求b的值，又由正弦定理可求，即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）（法一）：在ABC中，由正弦定理得（2sinAsinC）cosBsinBcosC，2sinAcosBsinBcosC+sinCcosBsin（B+C），又B+CA，sin（B+C）sin（A）sinA，2sinAcosBsinA，sinA0，0B，故（法二）由余弦定理得，a2+b2c2ac，0B，故（2），所以ac4

21、又，由余弦定理得 b2a2+c22accosB（a+c）23ac12，又由正弦定理知，a4sinA，c4sinC，即【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12分）设an是公比为正数的等比数列，若a12，且2a2，a3，8成等差数列（1）求an的通项公式；（2）设，求证：数列bn的前n项和Tn1【分析】（1）设等比数列an的公比为q，通过2a2，a3，8成等差数列，求出公比，然后求解an的通项公式（2）求出，利用裂项相消法求解数列的和，即可说明数列bn的前n项和为Tn1【解答】解：（1）设等

22、比数列an的公比为q，2a2，a3，8成等差数列a3a2+4即2q22q+4，（2分）即q2q20，解得q2或q1（舍去），q2（4分）所以an的通项为（nN*） （5分）（2）由上知，（7分）Tnb1+b2+b3+bn（9分）（10分）即数列bn的前n项和为Tn1【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力19（12分）某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元（1）问第几年开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船；方案二：总纯收入获利最大时，以10万元

23、出售该渔船问：哪一种方案合算？请说明理由【分析】（1）设第n年开始获利，获利为y万元，利用数列列出n年的总费用为获利为y30n81n2（n3）（n27）利用二次函数的性质求解即可（2）求出方案一的总收益，方案二的总收益，即可得到结果【解答】解：（1）设第n年开始获利，获利为y万元，由题意知，n年共收益30n万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列，故n年的总费用为获利为y30n81n2（n3）（n27）由y0即（n3）（n27）0解得3n27nN*，n4时，即第4年开始获利（2）方案一：n年内年平均获利为由于，当且仅当n9时取“”号（万元）即前9年年平均收益最大，此时总收益为129+4

24、6154（万元）方案二：总纯收入获利y30n81n2（n15）2+144当n15时，y（n15）2+144取最大值144，此时总收益为144+10154两种方案获利相等，但方案一中n9，所需的时间短，方案一较合算【点评】本题考查函数的实际应用，数列的应用，函数的性质，考查转化思想以及计算能力20（12分）已知直线l与抛物线C：y22x交于点A，B两点，与x轴交于点M，直线OA，OB的斜率之积为（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆P交x轴于E，F两点，O为坐标原点，求|OE|OF|的值【分析】（1）设直线AB：xmy+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方程，利

25、用判别式求解斜率得到直线系方程，然后求解定点坐标（2）以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（xx1）（xx2）+（yy1）（yy2）0设E（xE，0），F（xF，0），则xE，xF是方程的两个实根，转化求解即可【解答】解：（1）设直线AB：xmy+n，A（x1，y1），B（x2，y2），由消去x得，y22my2n0，则y1y28，那么n4满足4m2+8n0，即AB：xmy+4，即AB过定点（4，0）（6分）（2）以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（xx1）（xx2）+（yy1）（yy2）0，设E（xE，0），F（xF，0），则xE，xF是方程（xx

26、1）（xx2）+（0y1）（0y2）0，即x2（x1+x2）x+x1x2+y1y20的两个实根，有，|OE|OF|xExF|8（12分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力21（12分）如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为正方形，AE平面CDE，已知AEDE2，F为线段DE的中点（）求证：CD平面ADE；（）求二面角CBFE的平面角的余弦值【分析】（1）由正方形性质得CDAD，由线面垂直得AECD，由此能证明CD平面ADE（2）以D为原点，DC为x轴，DE为y轴，过点D平行于EA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCF的法向量和平

27、面BEF的法向量，由此能求出二面角CBFE的平面角的余弦值【解答】（1）证明：底面ABCD为正方形，CDAD，AE平面CDE，CD平面CDE，AECD，又ADAEA，CD平面ADE（2）解：由CD平面ADE，得CDDF，以D为原点，DC为x轴，DE为y轴，过点D平行于EA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由题意AD2，C（2，0，0），B（2，2，2），E（0，2，0），F（0，1，0），（2，1，2），（2，1，0），（0，1，0），设平面BCF的法向量（x，y，z），则，取x，得（，4，4），设平面BEF的法向量（a，b，c），则，取a，得（，0，2），设二面角CBFE的平面角为，cos|

28、cos|，二面角CBFE的平面角的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用22（12分）已知函数f（x）sinxxcosx，（1）求证：f（x）0；（2）若在上恒成立，求a的最大值与b的最小值【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，证明即可；（2）问题等价于“sin xax0”且“sin xbx0”，令g（x）sin xkx，根据函数的单调性求出a的最大值与b的最小值综上所述，当且仅当k时，g（x）0对任意x（0，）恒成立；当且仅当k1时，g（x）0对任意x（0，）恒成立所以若ab对任意x（0，）恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题