2018-2019学年内蒙古赤峰市宁城县高二（上）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、2018-2019学年内蒙古赤峰市宁城县高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1（5分）已知集合Ax|x22x30，B0，1，2，3，4，则AB（）A1，2，3B0，1，2，3C1，0，1，2，3D0，1，22（5分）“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（5分）等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为（）A1BC1或D1或4（5分）曲线f（x）xlnx在点x1处的切线方程为（）Ayx+1Byx1Cy2x+2Dy2x25（5分）已知|1，|2，（）0，则向量与的夹角为（）ABCD6（5

2、分）曲线1与曲线1（k9）的（）A长轴长相等B短轴长相等C离心率相等D焦距相等7（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若1，则公差d为（）A2B4C5D68（5分）抛物线y24x上一点P到焦点F的距离|PF|4，则点P的坐标为（）AB（4，4）C或D（4，4）或（4，4）9（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，则下面判断正确的是（）A在（2，1）上f（x）是增函数B当x2时，f（x）取极大值C在（1，3）上f（x）是减函数D当x4时，f（x）取极大值10（5分）用一个平面去截正方体，则截面的形状可以是：直角三角形；正五边形；正六边形；梯形正确结论的序号为（）ABCD11（5分

3、）设P为椭圆（ab0）上一点，两焦点分别为F1，F2，如果PF1F275，PF2F115，则椭圆的离心率为（）ABCD12（5分）若函数f（x）lnxax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A（0，+）BC（0，e）D二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13（5分）已知ABC中，AB2，C45，则ABC外接圆的半径为 14（5分）求经过点A（3，1），且对称轴是坐标轴的等轴双曲线的方程 15（5分）已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为 16（5分）在数列an中，已知a11，记Sn为数列an的前n项和，则S2019 三、解答题

4、（共6小题，满分70分）17（10分）等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1030，a2050（1）求通项an；（2）令Sn242，求n18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2ac）cosBbcosC（1）求角B；（2）若ABC的面积为，求sinAsinC的值19（12分）已知命题p：方程x2+mx+10有两上不相等的负实根，命题q：不等式4x2+4（m2）x+10的解集为R，若pq为真命题，pq为假命题，求m的取值范围20（12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品

5、为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05项目用量产品工人（名）资金（万元）甲420乙85（1）分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；（2）已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如右表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（1）的条件下，求x，y为何值时，zxP甲+yP乙最大，最大值是多少？21（12分）已知直线l与抛物线C：y22x交于点A，B两点，与x轴交于点M，直线OA，OB的斜率之积为（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆P交x轴于E，F两点，O为坐标原点，求|OE|OF|的值22（12分）设aR，函数f（x）ax33x2

6、（）若x2是函数yf（x）的极值点，求实数a的值；（）若函数g（x）exf（x）在0，2上是单调减函数，求实数a的取值范围2018-2019学年内蒙古赤峰市宁城县高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1（5分）已知集合Ax|x22x30，B0，1，2，3，4，则AB（）A1，2，3B0，1，2，3C1，0，1，2，3D0，1，2【分析】利用交集的性质求解【解答】解：集合Ax|x22x30x|1x3，B0，1，2，3，4，AB0，1，2，3故选：B【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意不等式性质的合理运用2（5分）“”是“”的

7、（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：当时，成立当时，满足，但不成立故“”是“”的充分不必要条件故选：A【点评】本题主要考查才充分条件和必要条件的应用，比较基础3（5分）等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为（）A1BC1或D1或【分析】当公比q1时，满足S321；当公比q1时，可得S3+721，解方程可得【解答】解：等比数列an中，a37，前3项之和S321，当公比q1时，a1a2a37，满足S321；当公比q1时，可得S3+721，解得q或q1（舍去），综上可得公比q的值为：1

8、或故选：D【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题4（5分）曲线f（x）xlnx在点x1处的切线方程为（）Ayx+1Byx1Cy2x+2Dy2x2【分析】求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，利用点斜式可求切线方程【解答】解：求导函数，可得ylnx+1，x1时，y1，y0，曲线yxlnx在点x1处的切线方程是yx1，即yx1故选：B【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题5（5分）已知|1，|2，（）0，则向量与的夹角为（）ABCD【分析】由向量的数量积运算及向量的夹角得：20，即|cos2，又|1，|2，即cos，又0

9、，则可得解【解答】解：由（）0得：20，即|cos2，又|1，|2，所以cos，又0，所以，故选：C【点评】本题考查了向量的数量积运算及向量的夹角，属简单题6（5分）曲线1与曲线1（k9）的（）A长轴长相等B短轴长相等C离心率相等D焦距相等【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断【解答】解：曲线1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8曲线1（k9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8对照选项，则D正确故选：D【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题7（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若1，则公差d为（

10、）A2B4C5D6【分析】根据等差数列的性质可得：为等差数列，公差为，即可得出【解答】解：根据等差数列的性质可得：为等差数列，由1，即3，解得d6故选：D【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）抛物线y24x上一点P到焦点F的距离|PF|4，则点P的坐标为（）AB（4，4）C或D（4，4）或（4，4）【分析】设P（m，n），求出抛物线的准线方程，运用抛物线的定义可得m+15，即可解得m，再由抛物线方程，可得n，进而得到P的坐标【解答】解：设P（m，n），由于抛物线y24x的准线为x1，则由定义可得|PF|m+14，解得m3，则n21

11、2，解得n2和2即有点P的坐标为：或故选：C【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的运用，运用定义是解题的关键9（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，则下面判断正确的是（）A在（2，1）上f（x）是增函数B当x2时，f（x）取极大值C在（1，3）上f（x）是减函数D当x4时，f（x）取极大值【分析】利用导函数值的符号判断函数的单调性，推出选项即可【解答】解：由题意可知导函数在x（1，2），导函数为正，f（x）是增函数在x（2，4），导函数为负，f（x）是减函数当x2时，f（x）取极大值故选：B【点评】本题考查函数的单调性与导函数的关系，考查基本知识的

12、应用10（5分）用一个平面去截正方体，则截面的形状可以是：直角三角形；正五边形；正六边形；梯形正确结论的序号为（）ABCD【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项【解答】解：画出截面图形如图：可以画出三角形但不是直角三角形，故错误；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形但此时不可能是正五边形，故错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故正确；可以画出梯形但不是直角梯形，故正确故选：C【点评】本题是基础题，考查学生作图能力，判断能力，以及逻辑思维能力，明确几何图形的特征，是解好本题的关键11（5分）设P为椭圆（ab0）上一点，

13、两焦点分别为F1，F2，如果PF1F275，PF2F115，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】依题意，PF1F2为直角三角形，设|PF1|m，|PF2|n，可求得m，n与c的关系，从而可求椭圆的离心率【解答】解：PF1F215，PF2F175，PF1F2为直角三角形，F1PF290，设|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，则n2csin75，m2csin15，又|PF1|+|PF2|m+n2a2csin15+2csin752a，e故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|、|PF2|与|F1F2|之间的关系是关键，考查分析与运算能力，属于中档题12（5分）若函数f（x）l

14、nxax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A（0，+）BC（0，e）D【分析】函数f（x）lnxax有两个不同的零点，可化为ylnx与yax在R上有两个不同的交点，作图求解【解答】解：函数f（x）lnxax在R上有两个不同的零点可化为ylnx与yax在R上有两个不同的交点，作函数ylnx与yax在R上的图象如下，当直线与ylnx相切时，则，解得，xe；故直线与ylnx相切时，切线的斜率a；故实数a的取值范围是（0，）；故选：B【点评】本题考查了数形结合的应用及函数的零点与函数的图象的应用，属于基础题二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13（5分）已知ABC中，AB2，C45，

15、则ABC外接圆的半径为【分析】根据题意得到边角的关系，进而判断出利用正弦定理求解外接圆的半径【解答】解：设ABC的外接圆半径为R，因为在ABC中AB4，C45，所以根据正弦定理可得：2R2，所以R故答案为：【点评】本题考查了有关三角形以及外接圆问题，本题主要利用正弦定理解决外接圆的半径问题，属于基础题14（5分）求经过点A（3，1），且对称轴是坐标轴的等轴双曲线的方程x2y28【分析】设等轴双曲线的方程为x2y20把点A（3，1）代入解得即可【解答】解：设等轴双曲线的方程为x2y20把点A（3，1）代入可得：91，解得8要求的等轴双曲线的方程为x2y28故答案为x2y28【点评】熟练掌握等轴双

16、曲线的标准方程是解题的关键15（5分）已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为162【分析】利用矩形的周长公式、基本不等式的性质、圆柱的侧面积计算公式即可得出【解答】解：如图所示，设矩形的长与宽分别为a，b则2a+2b36，即a+b18，当且仅当ab9时取等号解得ab81旋转形成的圆柱的侧面积2ab281162旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为162故答案为：162【点评】本题考查了矩形的周长公式、基本不等式的性质、圆柱的侧面积计算公式，属于基础题16（5分）在数列an中，已知a11，记Sn为数列an的前n项和，则S2019【分析】计算数列的前几

17、项，可得数列an是以3为周期的数列，计算可得所求和【解答】解：在数列an中，已知a11，可得a2，a32，a41，a5，可得数列an是以3为周期的数列，则S2019673（a1+a2+a3）673（12）故答案为：【点评】本题考查数列的周期和运用：求和，注意分析数列的前几项的特点，考查运算能力和推理能力，属于基础题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1030，a2050（1）求通项an；（2）令Sn242，求n【分析】（1）利用等差数列的通项公式根据a10和a20的值建立方程组，求得a1和d，则通项an可得（2）把等差数列的求和公式代入进而求得

18、n【解答】解：（）由ana1+（n1）d，a1030，a2050，得方程组解得a112，d2所以an2n+10（）由得由，Sn242得方程12n+2242解得n11或n22（舍去）【点评】本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2ac）cosBbcosC（1）求角B；（2）若ABC的面积为，求sinAsinC的值【分析】（1）（法一）：由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinAcosBsinA，结合sinA0，可求，结合范围0B，可求B的值；（法二）由余弦定理得a2+b2c2ac，可求cosB的值，结

19、合范围0B，可求（2）利用三角形面积公式可求ac4，进而根据余弦定理可求b的值，又由正弦定理可求，即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）（法一）：在ABC中，由正弦定理得（2sinAsinC）cosBsinBcosC，2sinAcosBsinBcosC+sinCcosBsin（B+C），又B+CA，sin（B+C）sin（A）sinA，2sinAcosBsinA，sinA0，0B，故（法二）由余弦定理得，a2+b2c2ac，0B，故（2），所以ac4又，由余弦定理得 b2a2+c22accosB（a+c）23ac12，又由正弦定理知，a4sinA，c4sinC，即【点评】本题主要考

20、查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（12分）已知命题p：方程x2+mx+10有两上不相等的负实根，命题q：不等式4x2+4（m2）x+10的解集为R，若pq为真命题，pq为假命题，求m的取值范围【分析】若命题p真，则有 ，解得 m2；若命题q真，则有判别式4（m2）2160，解得 1m3分命题p为真、命题q为假，以及命题p为假、命题q为真两种情况，分别求出m的取值范围，取并集即得所求【解答】解：令f（x）x2+mx+1，若命题p真，则有，解得 m2若命题q真，则有判别式4（m2）2160，解得 1m3根据

21、pq为真命题，pq为假命题，可得命题p和命题q一个为真，另一个为假当命题p为真、命题q为假时，m3当命题p为假、命题q为真时，1m2综上可得，m的取值范围为3，+）（1，2【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题20（12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05项目用量产品工人（名）资金（万元）甲420乙85（1）分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；（2）已知生产一件产品需要用的工人数和资金数

22、如右表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（1）的条件下，求x，y为何值时，zxP甲+yP乙最大，最大值是多少？【分析】根据题意，列出相应的不等式组，作出不等式组对应的区域，根据目标函数的特征用线性规划的相关知识找到最优解【解答】解：（1）依题意得：，解得：故甲产品为一等品的概率P甲0.65，乙产品为一等品的概率P乙0.4（2）依题意得x，y应满足的约束条件为：，且z0.65x+0.4y作出以上不等式组所表示的平面区域（如图阴影部分），即可行域作直线l：0.65x+0.4y0，即13x+8y0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域的点M

23、，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值解方程组，得x2，y3故M的坐标为（2，3），所以z的最大值为zmax0.652+0.432.5【点评】本题主要考查了等可能事件的概率、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题21（12分）已知直线l与抛物线C：y22x交于点A，B两点，与x轴交于点M，直线OA，OB的斜率之积为（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆P交x轴于E，F两点，O为坐标原点，求|OE|OF|的值【分析】（1）设直线AB：xmy+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方程，利用判别式求解斜率得到直线系方程，然后求解定点坐标（2）以A（x1，

24、y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（xx1）（xx2）+（yy1）（yy2）0设E（xE，0），F（xF，0），则xE，xF是方程的两个实根，转化求解即可【解答】解：（1）设直线AB：xmy+n，A（x1，y1），B（x2，y2），由消去x得，y22my2n0，则y1y28，那么n4满足4m2+8n0，即AB：xmy+4，即AB过定点（4，0）（6分）（2）以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（xx1）（xx2）+（yy1）（yy2）0，设E（xE，0），F（xF，0），则xE，xF是方程（xx1）（xx2）+（0y1）（0y2）0，即x2（x1+x2）x+x

25、1x2+y1y20的两个实根，有，|OE|OF|xExF|8（12分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力22（12分）设aR，函数f（x）ax33x2（）若x2是函数yf（x）的极值点，求实数a的值；（）若函数g（x）exf（x）在0，2上是单调减函数，求实数a的取值范围【分析】（）求出函数的导数，得到关于a的方程，检验即可；（）求出函数的导数，a对x（0，2恒成立，令h（x），（x（0，2），求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（）f（x）3x（ax2），因为x2是函数的极值点，所以f（2）0，即6（2a2）0，所以a1，经检验，当a1时，x2是函数yf（x）的极值点即a1（4分）（）由题设，g（x）ex（ax33x2+3ax26x），又ex0，所以x（0，2，ax33x2+3ax26x0，问题等价于不等式a对x（0，2恒成立（6分）令h（x），（x（0，2），则h（x）0，（8分）所以h（x）在区间（0，2上是减函数，所以h（x）的最小值为h（2）（10分）所以a即实数a的取值范围为（，）（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题