2018-2019学年内蒙古赤峰市松山区高二（上）第二次月考数学试卷（理科）含详细解答

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1、1（5分）已知复数z满足i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）ABiC1D12（5分）下面是一段“三段论”推理过程：若函数f（x）在（a，b）内可导且单调递增，则在（a，b）内，f（x）0恒成立因为f（x）x3在（1，1）内可导且单调递增，所以在（1，1）内，f（x）3x20恒成立以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C结论正确D推理形式错误3（5分）用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c0（a0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A假设a，b，c不都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个是偶数D假设a，b，c至多有两

2、个是偶数4（5分）sinxdx的值为（）ABC1D25（5分）已知a是三角形一边的边长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积lr；由112，1+322，1+3+532，可得到1+3+5+2n1n2，则、两个推理依次是（）A类比推理、归纳推理B类比推理、演绎推理C归纳推理、类比推理D归纳推理、演绎推理6（5分）用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）（n+n）2n135（2n1）（2n+1）（nN*）”时，从nk到nk+1，等式的左边需要增乘的代数式是（）A2k+1BCD7（5分）已知抛物线C：y26x的焦点为F，P为抛物线

3、C上任意一点，若M（3，），则|PM|+|PF|的最小值是（）AB6CD8（5分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C角的余弦值是（）ABCD09（5分）将正整数排成下表：则在表中，数字2017出现在（）A第44行第80列B第45行第81列C第44行第81列D第45行第80列10（5分）函数f（x）lnxx2的图象大致是（）ABCD11（5分）已知双曲线1，（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（）ABC2D12（5分）设f（x）是函数f（x）的导函数，且f（x）f（x）（

4、xR），f（2）e2（e为自然对数的底数），则不等式f（2lnx）x2的解集为（）A（，e）B（0，）C（0，e）D（1，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为   14（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（2+2i）1i，则|z|   15（5分）由，推测a+b   16（5分）已知函数f（x）+4x3lnx在t，t+1上不单调，则t的取值范围是   三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知函数f（x）x1+（aR，e为自然对数

5、的底数）（1）若曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，求a的值；（2）当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf（x）相切，求l的直线方程18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD（1）求证：PD平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值19（12分）已知函数f（x）（2a）lnx+2ax（）当a2时，求函数f（x）的极值；（）当a0时，讨论f（x）的单调性20（12分）已知四棱锥ABCDE中，底面BCDE为直角梯形，CD平面ABC，侧面ABC是等腰直角三角形，EBCABC90，BCCD2BE2

6、，点M是棱AD的中点（1）证明：平面AED平面ACD；（2）求锐二面角BCMA的余弦值21（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，PF1F2的面积的最大值为（）求椭圆的标准方程；（）过F2的直线l交椭圆于M，N两点，且，求OMN的面积22（12分）已知函数f（x）+lnx（1）若函数f（x）在）上单调递增，求正实数a的取值范围；（2）若关于x的方程1x+2xlnx2mx0在内有解，求实数m的取值范围2018-2019学年内蒙古赤峰二中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

7、的1（5分）已知复数z满足i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）ABiC1D1【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由i，得z，复数z的虚部为1故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5分）下面是一段“三段论”推理过程：若函数f（x）在（a，b）内可导且单调递增，则在（a，b）内，f（x）0恒成立因为f（x）x3在（1，1）内可导且单调递增，所以在（1，1）内，f（x）3x20恒成立以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C结论正确D推理形式错误【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，

8、也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“f（x）在区间（a，b）上是增函数，则可导函数f（x），f（x）0对x（a，b）恒成立”，不难得到结论【解答】解：对于可导函数f（x），f（x）在区间（a，b）上是增函数，f（x）0对x（a，b）恒成立，应该是f（x）0对x（a，b）恒成立，大前提错误，故选：A【点评】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断

9、叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论3（5分）用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c0（a0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A假设a，b，c不都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个是偶数D假设a，b，c至多有两个是偶数【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词

10、语的否定根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B【点评】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”4（5分）sinxdx的值为（）ABC1D2【分析】直接利用

11、定积分公式求解即可【解答】解：sinxdx（cosx）cos+cos02故选：D【点评】本题考查定积分公式的应用，三角函数求值，考查计算能力5（5分）已知a是三角形一边的边长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积lr；由112，1+322，1+3+532，可得到1+3+5+2n1n2，则、两个推理依次是（）A类比推理、归纳推理B类比推理、演绎推理C归纳推理、类比推理D归纳推理、演绎推理【分析】根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论【解答】解：由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；由特殊到一般，故推

12、理为归纳推理故选：A【点评】本题考查的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，熟练掌握三种推理方式的定义及特征是解答本题的关键6（5分）用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）（n+n）2n135（2n1）（2n+1）（nN*）”时，从nk到nk+1，等式的左边需要增乘的代数式是（）A2k+1BCD【分析】从nk到nk+1时左边需增乘的代数式是，化简即可得出【解答】解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）（n+n）2n135（2n1）（2n+1）（nN*）时，nk时，左侧（k+1）（k+2）（k+k），k+1时，左侧（k+1+1）（k+1+2）（k+1+k1）（k+1+k）（k+1+k

13、+1），从nk到nk+1时左边需增乘的代数式是故选：D【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）已知抛物线C：y26x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M（3，），则|PM|+|PF|的最小值是（）AB6CD【分析】利用抛物线上的点到焦点距离到准线的距离，可得|PM|+|PF|PM|+P到准线的距离M到准线的距离，即可得出结论【解答】解：抛物线上的点到焦点距离到准线的距离，|PM|+|PF|PM|+P到准线的距离M到准线的距离3+|PM|+|PF|的最小值是，故选：D【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础8（5分）如图，已

14、知正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C角的余弦值是（）ABCD0【分析】连接AB1，交A1B于点O，取AC中点为E，连接OE，BE，则BOE是异面直线A1B与B1C所成角或补角，由此能求出异面直线A1B与B1C角的余弦值【解答】解：连接AB1，交A1B于点O，取AC中点为E，连接OE，BE，则BOE是异面直线A1B与B1C所成角或补角，由三角形中位线性质可知OEB1C，OEB1C，又OB，BE，在三角形BOE中，由余弦定理可得：cosBOE，所以异面直线A1B与B1C角的余弦值是故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置

15、关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题9（5分）将正整数排成下表：则在表中，数字2017出现在（）A第44行第80列B第45行第81列C第44行第81列D第45行第80列【分析】先算出前44行中共有1936个数，则可知2017在第45行，且是81列【解答】解：前n行中所有数字的个数之和为：1+3+5+7+（2n1）n2，n44时，前44行中共有4421936个数，有第45行中有245189个数，所以2017在第45行第81列故选：B【点评】本题考查了归纳推理，属基础题10（5分）函数f（x）lnxx2的图象大致是（）ABCD【分析】由已知中函数的解析式，我们利用导数法，

16、可以判断出函数的单调性及最大值，进而分析四个答案中的图象，即可得到答案【解答】解：（x0）（x0）则当x（0，1）时，f（x）0，函数f（x）为增函数；当x（1，+）时，f（x）0，函数f（x）为减函数；当x1时，f（x）取最大值，f（1）；故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的图象与性质，其中利用导数分析出函数的性质，是解答本题的关键11（5分）已知双曲线1，（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（）ABC2D【分析】先设P的坐标（x，y），焦半径得丨PF1丨ex+a，丨PF2丨exa，根据|PF1|4|P

17、F2|，进而可得e的关于x的表达式根据p在双曲线右支，进而确定x的范围，得到e的范围【解答】解：设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨ex+a，丨PF2丨exa，ex+a4（exa），化简得e，p在双曲线的右支上，xa，e，即双曲线的离心率e的最大值为故选：B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生对双曲线定义的灵活运用12（5分）设f（x）是函数f（x）的导函数，且f（x）f（x）（xR），f（2）e2（e为自然对数的底数），则不等式f（2lnx）x2的解集为（）A（，e）B（0，）C（0，e）D（1，e）【分析】构造函数g（x），求出导数，判断g（x）在R上递增原不等式等价为g（2l

18、nx）F（2），运用单调性，可得lnx1，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集【解答】解：设g（x），f（x）f（x），g（x）0，g（x）在R上递增，不等式f（2lnx）x2即为1，（x0），即1，x0g（2）1，g（2lnx）g（2），2lnx2，0xe，故选：C【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为4【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最

19、后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线yx3与直线y4x在第一象限所围成的图形的面积是02（4xx3）dx，而02（4xx3）dx（2x2x4）|02844曲边梯形的面积是4，故答案为：4【点评】本题考查学生利用定积分求曲边梯形的面积，会求出原函数的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题14（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（2+2i）1i，则|z|【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案【解答】解：由（2+2i）1i，得，z|z|故答案为：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考

20、查了复数模的求法，是基础题15（5分）由，推测a+b109【分析】本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知中的等式，分析根号中分式分子和分母的变化规律，得到a，b值【解答】解：由已知中，归纳可得：第n个等式为：，当n+110时，a10，b99，故a+b109，故答案为：109【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）16（5分）已知函数f（x）+4x3lnx在t，t+1上不单调，则t的取值范围是0t1或2t3【分析】先由函数求f（x）x+4，再由“函数在t，t+1上不单调”转化为“f（x）x+40在区间t

21、，t+1上有解”从而有在t，t+1上有解，进而转化为：g（x）x24x+30在t，t+1上有解，用二次函数的性质研究【解答】解：函数f（x）x+4函数在t，t+1上不单调，f（x）x+40在t，t+1上有解在t，t+1上有解g（x）x24x+30在t，t+1上有解g（t）g（t+1）0或0t1或2t3故答案为：0t1或2t3【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题注意判别式的应用三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知

22、函数f（x）x1+（aR，e为自然对数的底数）（1）若曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，求a的值；（2）当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf（x）相切，求l的直线方程【分析】（1）依题意，f（1）0，从而可求得a的值；（2）设切点为（x0，y0），求出函数的切线方程，求出k即可得到结论【解答】解：（1）由f（x）x1+，得f（x）1，又曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，f（1）0，即10，解得ae（2）当a1时，f（x）x1+，f（x）1，设切点为（x0，y0），f（x0）x01+，f（x0）1，则切线方程为y（x01+）（1）（xx0），即y（1）x+（

23、1+x0）1，ykx1与曲线yf（x）相切，k1且（1+x0）11，即k1且（1+x0）0解得x01，则k1e，即l的直线方程为y（1e）x1【点评】本题考查利用导数的几何意义的应用，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，要求熟练掌握导数的应用18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD（1）求证：PD平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值【分析】（1）推导出AB平面PAD，从而ABPD，再由PAPD，能证明PD平面PAB（2）取AD的中点O，连接PO，CO，推导出POAD，从而平面PAD平面ABCD，进

24、而PO平面ABCDPOCO由ACCD，得COAD，建立空间直角坐标系Oxyz利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值【解答】证明：（1）因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPD（2分）又PAPD，ABPAA，所以PD平面PAB（4分）解：（2）取AD的中点O，连接PO，CO（6分）因为PAPD，所以POAD，PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD因为CO平面ABCD，所以POCO因为ACCD，所以COAD（8分）如图，建立空间直角坐标系Oxyz由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0）

25、，D（0，1，0），P（0，0，1）设平面PCD的一个法向量为n（x，y，z），则，即（10分）令z2，则x1，y2所以n（1，2，2）又（1，1，1），所以cosn，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（12分）已知函数f（x）（2a）lnx+2ax（）当a2时，求函数f（x）的极值；（）当a0时，讨论f（x）的单调性【分析】（）当a2时，求出函数f（x）的导数，利用导数判断函数f（x）的单调性与极值；（）求出f（x）的导

26、数f（x），讨论a的取值范围，利用导数即可判断函数f（x）在定义域（0，+）的单调性【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），当a2时，函数f（x）+4x，所以f（x）+4，令f（x）0，所以x或x，因为x0，所以函数f（x）单调增区间是（，+），单调减区间是（0，），所以函数f（x）在x处取得极小值，f（）4，无极大值；（）f（x）+2a，令f（x）0，得x1，x2，当a2时，f（x）0，函数f（x）在定义域（0，+）单调递增；当2a0时，在区间（0，），（，+）上f（x）0，f（x）单调递减，在区间（，）上f（x）0，f（x）单调递增；当a2时，在区间（0，），（，+）上f（x）0

27、，f（x）单调递减，在区间（，）上f（x）0，f（x）单调递增；综上所述，当a2时，函数f（x）的在定义域（0，+）内单调递增；当2a0时，f（x）在区间（0，），（，+）内单调递减，在区间（，）内单调递增；当a2时，f（x）在区间（0，），（，+）内单调递减，在区间（，）内f（x）单调递增【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目20（12分）已知四棱锥ABCDE中，底面BCDE为直角梯形，CD平面ABC，侧面ABC是等腰直角三角形，EBCABC90，BCCD2BE2，点M是棱AD的中点（1）证明：平面AED平面ACD；（2）求锐二面角BCM

28、A的余弦值【分析】（）取AC的中点F，连接BF，推导出CDBF，BF平面ACD，MFCD，从南昌四边形BFME是平行四边形，进而EMBF，推导出EM平面ACD，由此能证明平面AED平面ACD（II）以点B为原点，直线BC、BA、BE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，利用向量法能求出锐二面角BCMA的余弦值【解答】证明：（）取AC的中点F，连接BF，ABBC，BFAC，CD平面ABC，CDBF又CDACC，BF平面ACDAMMD，AFCF，MFCD，MFCDBECD，BECD，BEMF，四边形BFME是平行四边形EMBF由，得EM平面ACD，平面AED平面ACD解：（II）BE平面

29、ABC，BEBC，BEBA，又BCAB，以点B为原点，直线BC、BA、BE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz由BCCD2BE2，得B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），D（2，0，2）由中点坐标公式得M（1，1，1），F（1，1，0），（2，0，0），（1，1，1），（1，1，0），设向量（x，y，z）为平面BMC的一个法向量，令y1，得（0，1，1），由（I）知，（1，1，0）是平面ACD的一个法向量设二面角BCMA的平面角为，则|cos|，锐二面角BCMA的余弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

30、等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，PF1F2的面积的最大值为（）求椭圆的标准方程；（）过F2的直线l交椭圆于M，N两点，且，求OMN的面积【分析】（）利用椭圆长轴长求出a三角形的面积求解b，即可求椭圆的标准方程；（）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及过F2的直线l交椭圆于M，N两点，且，转化求解m，然后求解OMN的面积【解答】解：（I）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，PF1F2的面积的最大值为可得a2，bc，解得b1，c，（5分）（II）由题意可知直线的斜率不为0，设直线l的方程为与椭圆联立并化简得（

31、6分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则由得（7分），解得（10分）所以（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知函数f（x）+lnx（1）若函数f（x）在）上单调递增，求正实数a的取值范围；（2）若关于x的方程1x+2xlnx2mx0在内有解，求实数m的取值范围【分析】（1）对函数f（x）求导，先利用导数求出函数f（x）的单调递增区间，然后根据集合的包含关系，于是可解出实数a的取值范围；（2）问题转化为x，e时，f（x）minmf（x）max，根据函数的单调性求出函数的最值，从而确定m的范围即可【解答】解：（1）

32、由题意得f（x）的定义域是（0，+），f（x），令f（x）0，解得：x，故f（x）在，+）递增，而f（x）在）上单调递增，则0，解得：a2；故正实数a的范围是2，+）；（2）1x+2xlnx2mx0可化为+lnxm，令a2，则f（x）+lnx，若关于x的方程1x+2xlnx2mx0在内有解，则x，e时，f（x）minmf（x）max，由（1）知当x时f（x）0，当xe时，f（x）0，故f（x）在（，）递减，在（，e）递增，故x，e时，f（x）minf（）ln2，f（）0，f（e）0，故x，e时，f（x）maxf（e），故ln2m，故实数m的范围是ln2，【点评】本题考查利用导数研究函数，考查了函数的单调性以及函数的零点个数问题，考查了问题的转化能力与计算能力，属于中等题