2019-2020学年内蒙古赤峰市松山区高二(上)第二次月考数学试卷(理科)含详细解答
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1、1(5分)已知条件p:x1,q:,则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2(5分)抛物线y4x2的焦点坐标是()A(0,1)B(1,0)CD3(5分)若函数有极值点,则实数a的取值范围为()A(1,+)B1,+)C(,1)D(,14(5分)已知点P是抛物线y22x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()AB3CD5(5分)若函数f(x)kxlnx在区间(1,+)上单调递增,则k的取值范围是()A(,2B(,1C1,+)D1,+)6(5分)已知点A是双曲线(a,b0)右支上一点,F是右焦点,若AOF(O是坐标原点)
2、是等边三角形,则该双曲线离心率e为()ABC1+D1+7(5分)定义域为R的函数f(x)满足f(1)1,且 f(x)的导函数f(x),则满足2f(x)x+1的x的集合为()Ax|1x1Bx|x1Cx|x1或x1Dx|x18(5分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AA11,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()ABCD9(5分)函数f(x)的图象大致是()ABCD10(5分)若函数f(x)lnx+在区间1,e上最小值为,则实数a的值为()ABCD非上述答案11(5分)如图,过抛物线y22px(p0)焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|2|BF
3、|,且|AF|3,则此抛物线的方程为()Ay23xBy29xCy2xDy2x12(5分)已知f(x)lnx+2,若对x1(0,1,x21,1,都有f(x1)g(x2),则a的取值范围为()A(,2eB(2,2eCD二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13(5分)函数f(x)lnxx的单调递增区间为 14(5分)已知函数f(x)x3+ax22若函数yf(x)的图象在点P(1,f(1)处的切线的倾斜角为,a的值为 15(5分)已知直线l交椭圆1于M、N两点,椭圆与y轴的正半轴交于B点,若MBN的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l方
4、程为 16(5分)已知函数f(x)xlnxmx2有两个极值点,则实数m的取值范围是 三、简答题17(10分)已知函数(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在0,3上的最大值和最小值18(12分)如图,在四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CACBCDBD2,ABAD()求证:AO平面BCD;()求AE与平面ACD所成角的正弦值19(12分)已知抛物线C:y22px(p0)上一点M(3,t)到焦点F的距离为4(1)求t,p的值(2)过焦点F作直线L交抛物线C于A,B两点,交y轴于P点,且,证明:1+2为定值20(12分)如图,在直三棱柱ABCA1B1
5、C1中,BAC90,E是BC中点ABACAA12()求证:A1B平面AEC1;()求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值21(12分)已知椭圆的焦距与椭圆的矩轴长相等,且W与的长轴长相等,这两个椭圆在第一象限的交点为A,直线l与直线OA(O为坐标原点)垂直,且l与W交于M,N两点(1)求W的方程;(2)求MON的面积的最大值22(12分)已知函数f(x)(x1)2+alnx,(a0)(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1x2,当f(x1)mx2+1恒成立时,求m的取值范围2019-2020学年内蒙古赤峰二中高二(上)第二次月考数学试卷(理科)参
6、考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共60分)1(5分)已知条件p:x1,q:,则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义,分别证明其充分性和必要性,从而得到答案【解答】解:由x1,推出1,p是q的充分条件,由1,得0,解得:x0或x1不是必要条件,故选:A【点评】本题考查了充分必要条件,考查了不等式的解法,是一道基础题2(5分)抛物线y4x2的焦点坐标是()A(0,1)B(1,0)CD【分析】把抛物线y4x2的方程化为标准形式,确定开口方向和p值,即可得到焦点坐标【解答】解:抛物线y4x2的标准方程为 x2y,
7、p,开口向上,焦点在y轴的正半轴上,故焦点坐标为(0,),故选:C【点评】本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用;把抛物线y4x2的方程化为标准形式,是解题的关键3(5分)若函数有极值点,则实数a的取值范围为()A(1,+)B1,+)C(,1)D(,1【分析】根据题意得f(x)x22x(a2)有两个零点,由判别式大于零,即可得出答案【解答】解:有极值点,f(x)x22x(a2)有两个零点,(2)241(a2)4+4(a2)0,a1,故选:A【点评】本题考查函数的极值,属于中档题4(5分)已知点P是抛物线y22x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为
8、()AB3CD【分析】先求出抛物线的焦点坐标,再由抛物线的定义可得d|PF|+|PA|AF|,再求出|AF|的值即可【解答】解:依题设P在抛物线准线的投影为P',抛物线的焦点为F,则,依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|PF|,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和故选:A【点评】本小题主要考查抛物线的定义解题5(5分)若函数f(x)kxlnx在区间(1,+)上单调递增,则k的取值范围是()A(,2B(,1C1,+)D1,+)【分析】求出导函数f(x),由于函数f(x)kxlnx在区间(1,+)单调递增,可得f(x)0在区间(1,+)上恒成立解出
9、即可【解答】解:f(x)k,函数f(x)kxlnx在区间(1,+)单调递增,f(x)0在区间(1,+)上恒成立k,而y在区间(1,+)上单调递减,k1k的取值范围是:1,+)故选:C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法,属于中档题6(5分)已知点A是双曲线(a,b0)右支上一点,F是右焦点,若AOF(O是坐标原点)是等边三角形,则该双曲线离心率e为()ABC1+D1+【分析】利用已知条件求出A坐标,代入双曲线方程,可得a、b、c,关系,然后求解离心率即可【解答】解:依题意及三角函数定义,点A(ccos,csin),即A(,),代入双曲线方程,可得 b
10、2c23a2c24a2b2,又c2a2+b2,得e24+2,e,故选:D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力7(5分)定义域为R的函数f(x)满足f(1)1,且 f(x)的导函数f(x),则满足2f(x)x+1的x的集合为()Ax|1x1Bx|x1Cx|x1或x1Dx|x1【分析】令F(x)2f(x)x,然后根据导数符号研究函数的单调性,从而得到变量x的不等式,解之即可【解答】解:令F(x)2f(x)x则F(x)2f(x)10F(x)在R上单调递增F(1)2f(1)1211,2f(x)x+1F(x)2f(x)x1F(1)即x1故满足2f(x)x+1的x的集合为为x|x1故选:B
11、【点评】本题主要考查了导数的运算,以及构造法的应用,解题的关键是令F(x)2f(x)x后利用单调性解不等式,属于中档题8(5分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AA11,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()ABCD【分析】由题意,由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角【解答】解:以D点为坐标原点,以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1)(2,0,1),(2,2,0),且为平面BB1D1D的一个法向量co
12、s,BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选:D【点评】此题重点考查了利用空间向量,抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题9(5分)函数f(x)的图象大致是()ABCD【分析】本题是选择题,可采用排除法进行逐一排除,根据f(0)1可知图象经过(0,1),以及根据当x0,x2时原函数值的符号情况,从而可以进行判定【解答】解:因为f(0)1,说明函数的图象过(0,1),排除D;因为当x2时,2x0,2ex0,所以f(x)0恒成立,即当x2时,函数图象在x轴下方,排除A因为当x0时,2x0,2ex0,所以f(x)0恒成立,即
13、当x0时,函数图象在x轴上方,排除C故选:B【点评】本题主要考查了通过特殊点研究函数的图象,以及函数的图象等基础知识,属于基础题10(5分)若函数f(x)lnx+在区间1,e上最小值为,则实数a的值为()ABCD非上述答案【分析】由于f(x),x1,e,对a分a1与1ae、ae三类讨论,分别求得f(x)min,利用f(x)min即可求得答案【解答】解:f(x)lnx+,f(x),x1,e,当a1时,f(x)0,f(x)lnx+在区间1,e上单调递增,f(x)minf(1)a与a0矛盾,故a1不成立,a1若1ae,f(x),在区间1,a)上,f'(x)0,函数f(x)单调递减,在区间(a
14、,e上,f'(x)0,函数f(x)单调递增,当xa时,f(x)lnx+在区间1,e上取得极小值f(a),也是最小值,f(x)minf(a)1na+1,解得:a1,e,满足题意;若ae,f(x)0,f(x)lnx+在区间1,e上单调递减,f(x)minf(e)1+,解得:ae与ae矛盾,故a,综上所述,实数a的值为故选:B【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值,突出考查利用导数求函数的极值与最值的应用,考查分类讨论思想与综合运算能力,属于难题11(5分)如图,过抛物线y22px(p0)焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则此抛物线的
15、方程为()Ay23xBy29xCy2xDy2x【分析】根据过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,作AM、BN垂直准线于点M、N,根据|BC|2|BF|,且|AF|3,和抛物线的定义,可得NCB30,设A(x1,y1),B(x2,y2),|BF|x,而x1+3,x2+1,且x1x2,即有(3)(1),可求得p的值,即求得抛物线的方程【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),作AM、BN垂直准线于点M、N,则|BN|BF|,又|BC|2|BF|,得|BC|2|BN|,NCB30,有|AC|2|AM|6,设|BF|x,则2x+x+36x1,而x1+3,x2+1,且x1
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