2019-2020学年内蒙古赤峰市松山区高二（上）第一次月考数学试卷（文科）含详细解答

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1、1（5分）命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（）A1B2C3D02（5分）已知命题p：Ax|x25x+60，命题q：Bx|ylg（2xa），aR若命题q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca4Da43（5分）方程（3xy+1）（y）0表示的曲线为（）A一条线段和半个圆B一条线段和一个圆C一条线段和半个椭圆D两条线段4（5分）若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（）A（1，2）BCD5（5分）平行四边形ABCD的一条对角线固定在A（3，1），C（2，3）两点，D点在直线3xy+10上移动，则B点轨迹所在的方程为（）A3xy200B

2、3xy100C3xy90D3xy1206（5分）已知椭圆，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（）ABCD7（5分）已知双曲线，四点P1（4，2），P2（2，0），P3（4，3），P4（4，3）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）ABCD8（5分）椭圆的焦点为，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦长MN长为，MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为（）ABCD9（5分）过点M（2，0）的直线m与椭圆+y21交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值

3、为（）A2B2CD10（5分）已知ab0，椭圆C1的方程为+1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）Axy0Bxy0Cx2y0D2xy011（5分）已知点p为双曲线C：1（a0，b0）右支上一点，F1，F2分别为左右焦点，若双曲线C的离心率为，PF1F2的内切圆圆心为I，半径为2，若+2，则b的值是（）A2BCD612（5分）已知点P在以F1，F2为焦点的双曲线1（a0，b0）上，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该双曲线的离心率为（）ABC1D1+二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设F1，F2分别是椭圆

4、的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|1，则P点到椭圆左焦点的距离为   14（5分）函数g（x）ax+2（a0），f（x）x22x，对x11，2，x01，2，使g（x1）f（x0）成立，则a的取值范围是   15（5分）设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在此双曲线上，且|PF1|5，则|PF2|   16（5分）在下列命题中：方程|x|+|y|1表示的曲线所围成区域为面积为2；与两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程为yx；与两定点（1，0），（1，0）距离之和等于1的点的轨迹为椭圆；与两定点（1，0），（1，0）距离之差的绝对值等于1的点

5、的轨迹为双曲线正确的命题的序号是   （注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17求下列各曲线的标准方程（1）长轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；（2）已知双曲线的渐近线方程为，焦距为5，求双曲线的标准方程18已知命题p：任意，x2a0恒成立；命题q：函数的值可以取遍所有正实数（）若命题p为真命题，求实数a的范围；（）若命题pq为假命题，pq为真命题，求实数a的取值范围19已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，渐近线方程为yx，且双曲线过点P（4，）（1）求双曲线的方程；（2）若点M（x1，y

6、1）在双曲线上，求的范围20已知点A（1，0）、B（1，0），直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为2，（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）若过点N（，1）的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且点N为CD的中点，求直线l的方程21已知椭圆C：1（ab0）的右焦点为F（1，0），过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）当lx轴时，ABM的面积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线AM、BM的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2022已知椭圆C的方程为：，且平行四边形OMAN的三个顶点M，A，N都在椭圆C上，O为坐标原点（1）当弦MN的中点为时，求直线MN的方程；（2）证明

7、：平行四边形OMAN的面积为定值2019-2020学年内蒙古赤峰二中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1（5分）命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（）A1B2C3D0【分析】根据四种命题的关系写出答案即可【解答】解：在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否命题同真同假命题“若a3，则a6”为假命题；逆命题是真命题，命题的否命题为真命题，故选：B【点评】此题考查了四种命题的关系，熟练掌握它们之间的关系是

8、解本题的关键2（5分）已知命题p：Ax|x25x+60，命题q：Bx|ylg（2xa），aR若命题q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca4Da4【分析】分别化简集合A，B，根据命题q是p的必要不充分条件，即可得出【解答】解：x25x+60，解得：2x3命题p：Ax|x25x+60（2，3）命题q：Bx|ylg（2xa），aR，2xa0，解得：x命题q是p的必要不充分条件，2，解得a4则a的取值范围是：a4故选：D【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）方程（3xy+1）（y）0表示的曲线为（）A一条线段和半个圆B一

9、条线段和一个圆C一条线段和半个椭圆D两条线段【分析】由原方程可得y0（1x1）或xy20，进一步求出的轨迹得答案【解答】解：由方程（3xy+1）（y）0得y0（1x1）或3xy+10，方程（3xy+1）（y）0表示一条线段和半个圆故选：A【点评】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键是注意根式有意义，是中档题4（5分）若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（）A（1，2）BCD【分析】根据双曲线方程求出a1，c利用离心率列出不等式，即可算出该双曲线的虚轴长的范围【解答】解：双曲线，a21，可得a1，c，双曲线的离心率大于2，2，解之得b，双曲线的虚轴长：，故选：B【点评】本题

10、给出双曲线方程，在已知离心率的情况下求双曲线的虚轴长，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题5（5分）平行四边形ABCD的一条对角线固定在A（3，1），C（2，3）两点，D点在直线3xy+10上移动，则B点轨迹所在的方程为（）A3xy200B3xy100C3xy90D3xy120【分析】设点B的坐标为（x，y），根据平行四边形ABCD的两条对角线互相平分可得D点坐标的表达式，把D点代入直线方程即可得到答案【解答】解：设点B（x，y），平行四边形ABCD的两条对角线互相平分，即AC的中点C（，2）也是BD的中点，点D为（5x，4y），而D点在直线3xy+10上移动，则3（5x

11、）（4y）+10，即3xy200故选：A【点评】本题主要考查了轨迹方程的问题属基础题6（5分）已知椭圆，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）由AB的中点为，可得x1+x22，y1+y21由PFl，可得kPFkl由+1，+1作差代入即可得出【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）AB的中点为，x1+x22，y1+y21PFl，kPFkl由+1，+1+0，+0，可得：2bca2，4c2（a2c2）a4，化为：4e44e2+10，解得e2，0e1e故选：A【点评】本题考查了椭

12、圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）已知双曲线，四点P1（4，2），P2（2，0），P3（4，3），P4（4，3）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）ABCD【分析】先判断P3（4，3），P4（4，3）中在双曲线上，则P1（4，2）一定不在双曲线上，则P2（2，0）在双曲线上，则可得a2，1，求出b和c，再根据离心率公式计算即可【解答】解：根据双曲线的性质可得P3（4，3），P4（4，3）中在双曲线上，则P1（4，2）一定不在双曲线上，则P2（2，0）在双曲线上，a2，1，解得b23，c2a2+b27，c，e，故

13、选：C【点评】本题考查了双曲线的简单性质和离心率，属于基础题8（5分）椭圆的焦点为，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦长MN长为，MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】椭圆的离心率e，根据题目条件，MN的长度为椭圆通径的长，MF2N的周长为4a，列方程即可解得a、c的值，进而求得离心率【解答】解：MF2N的周长MF1+MF2+NF1+NF22a+2a4a20，a5，又由椭圆的几何性质，过焦点的最短弦为通径长MN，b216，c2a2b29，c3e，故选：A【点评】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的几何性质，此类型题目要求我们应掌握椭圆中特殊的线段的长度，如通径等9（

14、5分）过点M（2，0）的直线m与椭圆+y21交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）A2B2CD【分析】点斜式写出直线m的方程，代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及中点公式求出P的横坐标，再代入直线m的方程求出P的纵坐标，进而求出直线OP的斜率k2，计算 k1k2的值【解答】解：过点M（2，0）的直线m的方程为  y0k1（x+2 ），代入椭圆的方程化简得（2k12+1）x2+8k12x+8k1220，x1+x2，P的横坐标为 ， P的纵坐标为k1（x1+2 ），即点P（，），直线OP的斜率k2，k1k2

15、故选：D【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，线段中点公式的应用，根据题意，求出点P的坐标是解题的关键和难点10（5分）已知ab0，椭圆C1的方程为+1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程【解答】解：ab0，椭圆C1的方程为+1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为1，C2的离心率为：，C1与C2的离心率之积为，C2的渐近线方程为：y，即xy0故选：A【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查11（

16、5分）已知点p为双曲线C：1（a0，b0）右支上一点，F1，F2分别为左右焦点，若双曲线C的离心率为，PF1F2的内切圆圆心为I，半径为2，若+2，则b的值是（）A2BCD6【分析】利用，PF1F2的内切圆圆心为I，半径为2，若+2，求出a，通过离心率求出c，然后求解b即可【解答】解：点p为双曲线C：1（a0，b0）右支上一点，F1，F2分别为左右焦点，PF1F2的内切圆圆心为I，半径为2，若+2，可得：，可得，可得2a2，所以a；双曲线C的离心率为，可得c3，则b故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查12（5分）已知点P在以F1，F2为焦点的双曲线1（a0，b0）上

17、，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该双曲线的离心率为（）ABC1D1+【分析】求出P的坐标，代入双曲线方程，得出e的方程，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，PF2x60，P（2c，c），代入1，可得1，4e48e2+10，e1，e故选：B【点评】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，正确求出P的坐标是关键二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|1，则P点到椭圆左焦点的距离为4【分析】由题意知，OM是PF1F2的中位线，由|OM|1，可得|PF2|2，再由

18、椭圆的定义求出|PF1|的值【解答】解：由题意知，OM是PF1F2的中位线，|OM|1，|PF2|2，又|PF1|+|PF2|2a6，|PF1|4，故答案为：4【点评】本题考查椭圆的定义，以及椭圆的简单性质的应用，判断OM是PF1F2的中位线是解题的关键，属于中档题14（5分）函数g（x）ax+2（a0），f（x）x22x，对x11，2，x01，2，使g（x1）f（x0）成立，则a的取值范围是（0，【分析】存在性问题：“若对x11，2，x01，2，使g（x1）f（x0）成立”，只需函数yg（x）的值域为函数yf（x）的值域的子集即可【解答】解：若对x11，2，x01，2，使g（x1）f（x0）

19、成立，只需函数yg（x）的值域为函数yf（x）的值域的子集即可函数f（x）x22x（x1）21，x1，2的值域为1，3下求g（x）ax+2的值域当a0时，g（x）的值域为2a，2+2a，要使2a，2+2a1，3，需，解得0a；综上，a的取值范围为（0，故答案为：（0，【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用15（5分）设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在此双曲线上，且|PF1|5，则|PF2|3或7【分析】确定P在双曲线的左支或右支上，由双曲线的定义可得结论【解答】解：双曲线中a1，|PF1|5，P在双曲线的左支、

20、或右支上，由双曲线的定义可得|PF2|PF1|2，|PF2|7或3故答案为：3或7【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题16（5分）在下列命题中：方程|x|+|y|1表示的曲线所围成区域为面积为2；与两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程为yx；与两定点（1，0），（1，0）距离之和等于1的点的轨迹为椭圆；与两定点（1，0），（1，0）距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线正确的命题的序号是（注：把你认为正确的命题序号都填上）【分析】：方程|x|+|y|1表示的曲线所围成区域为边长为的正方形：与两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程为|x|y|即yx，：由于两定点（1，0），（1

21、，0）距离为21，根据椭圆的定义可知此时的点的轨迹不存在：根据双曲线的定义进行判断【解答】解：方程|x|+|y|1表示的曲线所围成区域为边长为的正方形，故面积为2，故正确：与两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程为|x|y|即yx，故正确：由于两定点（1，0），（1，0）距离为21，根据椭圆的定义可知此时的点的轨迹不存在，错误：根据双曲线的定义可知正确故答案为：【点评】本题主要考查了线性规划的知识，点的轨迹方程的应用，椭圆与双曲线的定义的应用，尤其是中一定要注意椭圆与双曲线成立的条件三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17求下列各曲线的标准方程（1）长轴长为1

22、2，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；（2）已知双曲线的渐近线方程为，焦距为5，求双曲线的标准方程【分析】（1）根据题意，分析可得要求椭圆中a的值，由椭圆的离心率公式可得c的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，设双曲线的方程为1，分析可得其中c的值，分情况讨论双曲线焦点的位置，求出t的值，综合即可得答案【解答】解：（1）根据题意，要求椭圆的长轴长为12，即2a12，则a6，又由椭圆的离心率e，则c4，则b2a2c2361620；故椭圆的方程为；（2）根据题意，若要求双曲线的渐近线方程为，设其方程为1；又由双曲线的焦距为5，即2c5，则c，当双曲线的焦点在x轴上

23、，有16t+9t，解可得t，此时双曲线的方程为；当双曲线的焦点在y轴上，有（16t）+（9t），解可得t，此时双曲线的方程为故双曲线的方程为或【点评】本题考查椭圆、双曲线的标准方程，关键是理解焦距、长轴长的定义18已知命题p：任意，x2a0恒成立；命题q：函数的值可以取遍所有正实数（）若命题p为真命题，求实数a的范围；（）若命题pq为假命题，pq为真命题，求实数a的取值范围【分析】（）直接利用函数的性质和恒成立问题的应用求出结果（）利用真值表的应用和函数的性质的应用及判别式的应用求出a的范围【解答】解：（）命题p为真命题，所以：对任意，x2a0恒成立；则：ax2min，故：，（）函数的值可以取

24、遍所有正实数，所以，解得：a3或a3，由于pq为假命题，pq为真命题，则：p真q假所以：，解得：3ap假q真，故：，解得：a3，故：a的取值范围是：【点评】本题考查的知识要点：真值表的应用，命题真假的判断的应用，函数的性质的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，渐近线方程为yx，且双曲线过点P（4，）（1）求双曲线的方程；（2）若点M（x1，y1）在双曲线上，求的范围【分析】（1）设双曲线方程为x2y2，0，由双曲线过点（4，），能求出双曲线方程（2）根据向量的数量积以及双曲线的性质即可求出【解答】解：（1）

25、渐近线方程为yx，ab，设双曲线的方程为x2y2（0）双曲线过点（4，），1610，即6双曲线的方程为x2y26（2）由（1）可知，ab，c2，F1（2，0），F2（2，0），（2x1，y1），（2x1，y1），x1212+y12，点M（x1，y1）在双曲线上，y126+x12，2x1218，x126，12186【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用20已知点A（1，0）、B（1，0），直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为2，（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）若过点N（，1）的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且点N为CD

26、的中点，求直线l的方程【分析】（1）由题意可得：设M（x，y），写出直线AM与直线BM的斜率，利用线AM与直线BM的斜率之积为2，得到x与y的关系，进而得到答案；（2）根据题意可得直线l的斜率存在，设l：y1k（x），C（x1，y1），D（x2，y2），联立方程组得：（2+k2）x2k（k2）x+（k+1）220再结合根据根与系数的关系，求出直线的斜率得到直线的方程【解答】解：（1）由题意可得：设M（x，y），直线AM与直线BM的斜率之积为2，化简得：动点M的轨迹E的方程为（2）根据题意可得直线l的斜率存在，设l：y1k（x），C（x1，y1），D（x2，y2），代入椭圆方程，整理可得：（2+

27、k2）x2k（k2）x+（k+1）220x1+x2，N（，1）为CD的中点，1，k1，直线l的方程为2x+2y30【点评】本题主要考查求曲线方程的方法，以及考查当直线与圆相交时结合题意运用韦达定理化简求值的知识点，是一道综合性较强的题21已知椭圆C：1（ab0）的右焦点为F（1，0），过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）当lx轴时，ABM的面积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线AM、BM的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k20【分析】（1）由已知条件得b2a21，利用通径公式得出|AB|的表达式，再由ABM的面积得出有关a的方程，求出a的值，可得出椭圆C的标准方程；（

28、2）对直线l与x轴垂直、与y轴垂直以及与斜率存在且不为零三种情况讨论在前两种情况下可直接进行验证；在第三种情况下，设直线l的方程为yk（x1）（k0），将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理，通过化简计算得出结论成立【解答】解：（1）依题意得c2a2b21，即b2a21，所以当x1时，解得，当lx轴时，因为|MF|1，所以，解得，所以椭圆C的标准方程为；（2）当l与x轴重合时，k1k20，满足条件；当l与x轴垂直时，满足条件，当l与x轴不重合且不垂直时，设l为yk（x1）（k0），设点A（x1，y1）、B（x2，y2），把l的方程代入，得（2k2+1）x24k2

29、x+2k220，则，因为，而2kx1x23k（x1+x2）+4k，所以，k1+k20【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，同时考查计算能力与推理能力，属于难题22已知椭圆C的方程为：，且平行四边形OMAN的三个顶点M，A，N都在椭圆C上，O为坐标原点（1）当弦MN的中点为时，求直线MN的方程；（2）证明：平行四边形OMAN的面积为定值【分析】（1）MN的中点坐标为，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用平方差法，求解直线的斜率，然后求解直线方程（2）：当直线MN斜率不存在时，平行四边形OMAN为菱形，易得设直线MN的方程为：ykx+m与椭圆C相交于M、N

30、两点，设M（x1，y1），N（x2，y2），将其代入利用韦达定理以及弦长公式点到直线的距离求解面积推出结果【解答】解：（1）MN的中点坐标为，设M（x1，y1），N（x2，y2），两式相减可得，即，直线MN的方程为，即；证明（2）：当直线MN斜率不存在时，平行四边形OMAN为菱形，易得设直线MN的方程为：ykx+m与椭圆C相交于M、N两点，设M（x1，y1），N（x2，y2），将其代入得（2k2+1）x2+4kmx+2（m21）0，16k2m28（2k2+1）（m21）0即2k2+1m2又，四边形OMAN为平行四边形点A坐标为点A在椭圆C上，整理得4m22k2+1，点O到直线MN的距离为，【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，平方差法的应用，考查分析问题解决问题的能力