2018-2019学年广西南宁市二校联考高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2018-2019学年广西南宁市二校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题包括12个小题，共60分每小题只有一个选项符合题意，请将正确序号填入上面答题栏中）1（5分）若a0b，则下列不等式正确的是（）ABCa2b2D|a|b|2（5分）平面内有两个定点F1（5，0）和F2（5，0），动点P满足条件|PF1|PF2|6，则动点P的轨迹方程是（）A1（x4）B1（x3）C1（x4）D1（x3）3（5分）某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知C组中某个员工被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A110B10C9

2、0D804（5分）若从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选2个去旅游，至少选一个海滨城市的概率是（）ABCD5（5分）设命题p：xR，x2x+20；命题q：若m1，则方程+1表示焦点在x轴上的椭圆那么，下列命题为真命题的是（）Ap（q）B（p）（q）CpqDp（q）6（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，yR，那么输出的S的最大值为（）A0B1C2D37（5分）数据x1，x2，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x16，2x26，2x86的方差为（）A16B4C8D108（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线与曲线C交于A，B两点，|AB|6，则AB中点到y轴的距离是（）A1

3、B2C3D49（5分）已知圆C：x2+y24，直线l：yx+b当实数b0，6时，圆C上恰有2个点到直线l的距离为1的概率为（）ABCD10（5分）已知椭圆+1（ab0）与双曲线1（m0，n0）有相同的焦点（c，0）和（c，0），若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）ABCD11（5分）已知A和B是两个命题，如果A是B的充分但不必要条件，那么B是A的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件12（5分）已知双曲线上存在两点M，N关于直线yx+m对称，且MN的中点在抛物线y29x上，则实数m的值为（）A4B4C0或4D0或4二、填空

4、题（本题包括4个小题，共20分）13（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是   14（5分）命题“x0，3，使x22x+m0”是假命题，则实数m的取值范围为   15（5分）不等式|x+1|+|x2|4的解集为   16（5分）已知抛物线y2x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2（其中O为坐标原点），则直线AB恒过定点   三、解答题（本题包括6个小题，共80分）17（10分）已知函数f（x）的定义域为R（）求实数a的取值范围；（）若a的最

5、大值为k，且m+n2k（m0，n0），求+的最小值18（12分）已知数列an前n项和为Sn，首项为a1，且，Sn构成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足bn（log2a2n+1）（log2a2n+3），求证：19（12分）有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为（1）请完成上面的联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11

6、进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号试求抽到6号或10号的概率参考公式：K2，其中na+b+c+d概率表P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63520（12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosC2ac（）求B；（）若ABC的面积为，求b的取值范围21（12分）在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB2（1）求证：PCAE；（2）求证：CE平面PAB；（3）求三棱锥PACE的体积V22（12分）已知椭圆C：1（a

7、b0）的离心率为，椭圆C的长半轴长为2（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：ykx与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由2018-2019学年广西南宁市二校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括12个小题，共60分每小题只有一个选项符合题意，请将正确序号填入上面答题栏中）1（5分）若a0b，则下列不等式正确的是（）ABCa2b2D|a|b|【分析】利用题意结合不等式的性质整理计算即可求得最终结果【解答】解：若a0b，则 ，而a2与b2，|a|与|b|的大小是无法确定的故选：B

8、【点评】本题考查了不等式的性质及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题2（5分）平面内有两个定点F1（5，0）和F2（5，0），动点P满足条件|PF1|PF2|6，则动点P的轨迹方程是（）A1（x4）B1（x3）C1（x4）D1（x3）【分析】由条件知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可【解答】解：由|PF1|PF2|6|F1F2|知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支，得c5，2a6，a3，b216，故动点P的轨迹方程是1（x3）故选：D【点评】本题考查双曲线的定义、求双曲线的标准方程，体现了等价转化的数学思想3（5分）某单位员工按

9、年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知C组中某个员工被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A110B10C90D80【分析】按分层抽样应该从C组中抽取1人，设该单位C员工的人数为n，由C组中某个员工被抽到的概率是，问题得以解决【解答】解：C组中被抽到的人数为101人，C组中某个员工被抽到的概率是，设该单位C员工的人数为n，则，解得n9，则该单位员工总数为9（1+4+5）90故选：C【点评】本题考查古典概型及其概率的计算公式，是基础题解题时要认真审题，仔细解答4（5分）若从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选2个去旅游，至少选一个海

10、滨城市的概率是（）ABCD【分析】先求出基本事件总数n，至少选一个海滨城市包含的基本事件个数m5，由此能求出至少选一个海滨城市的概率【解答】解：从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选2个去旅游，基本事件总数n，至少选一个海滨城市包含的基本事件个数m5，至少选一个海滨城市的概率是p故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5（5分）设命题p：xR，x2x+20；命题q：若m1，则方程+1表示焦点在x轴上的椭圆那么，下列命题为真命题的是（）Ap（q）B（p）（q）CpqDp（q）【分析】因为12870，即方程x2x+20无解，

11、即命题p为假命题，p为真命题，由m1时，2m1m0，即方程+1表示焦点在x轴上的椭圆，即命题q为真命题，q为假命题，综上可得解【解答】解：由x2x+20，12870，即此方程无解，即命题p：xR，x2x+20；为假命题，即p为真命题，当m1时，2m1m0，即方程+1表示焦点在x轴上的椭圆即命题q为真命题，q为假命题，即（p）（q）为真命题，故选：B【点评】本题考查了命题的真假及椭圆的性质，属简单题6（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，yR，那么输出的S的最大值为（）A0B1C2D3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大

12、值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S2x+y的值最大，且最大值为2故选：C【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键7（5分）数据x1，x2，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x16，2x26，2x86的方差为（）A16B4C8D10【分析】根据平均数与方差、标准差的关系，求出对应的数值【解答】解：数据x1，x2，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x16，2x26，2x86的平均数为2666，方差为222216故选：A【点评】本题考查了平均数与方差、标准差的应用问题

13、，是基础题8（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线与曲线C交于A，B两点，|AB|6，则AB中点到y轴的距离是（）A1B2C3D4【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质可得到答案【解答】解：抛物线y24x，p2，设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，AB中点横坐标为x0（x1+x2）（|AB|p）2，则AB中点到y轴的距离是：2故选：B【点评】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法9（5分）已知圆C：x2+y24，直线l：yx+b当实数b0，6时，圆C上恰有2个点到

14、直线l的距离为1的概率为（）ABCD【分析】由已知求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式分别求出满足圆上有一点和三点到直线l的距离为1的b值，由测度比为长度比得答案【解答】解：圆C的圆心坐标为O（0，0），半径为2，直线l为：xy+b0由，即b时，圆上恰有一个点到直线距离为1，由，即b时，圆上恰有3个点到直线距离为1当b（）时，圆上恰有2个点到直线l的距离为1，故概率为故选：A【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题10（5分）已知椭圆+1（ab0）与双曲线1（m0，n0）有相同的焦点（c，0）和（c，0），若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中

15、项，则椭圆的离心率是（）ABCD【分析】根据是a、m的等比中项可得c2am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2b2m2+n2c2，根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n22m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e【解答】解：由椭圆和双曲线有相同的焦点，可得a2b2m2+n2c2，由c是a，m的等比中项，可得c2am；由n2是2m2与c2的等差中项，可得2n22m2+c2（即有n2m2+c2解得mc，代入c2am，即为a2c，e）可得m，n2+c2，即有+c2c2，化简可得，a24c2，即有e故选：B【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质，同时考查等差数列和

16、等比数列的中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题11（5分）已知A和B是两个命题，如果A是B的充分但不必要条件，那么B是A的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】首先判断命题之间的关系，再找出其逆否命题之间的关系，再进行判断【解答】解：因为A是B的充分但不必要条件，则命题“若A则B”为真命题，“若B则A”为假命题，有四种命题之间的真假关系可判断出则其逆否命题为真命题为真命题，故“若B则A”为真命题，“若A则B”为假命题，故B是A的充分但不必要条件，故选：A【点评】本题考查命题之间的关系，以及简易逻辑，属于基础题12（5分）已知双曲线上存在两点M

17、，N关于直线yx+m对称，且MN的中点在抛物线y29x上，则实数m的值为（）A4B4C0或4D0或4【分析】根据双曲线上存在两点M，N关于直线yx+m对称，求出MN中点P（，m），利用MN的中点在抛物线y29x上，即可求得实数m的值【解答】解：MN关于yx+m对称MN垂直直线yx+m，MN的斜率1，MN中点P（x0，x0+m）在yx+m上，且在MN上设直线MN：yx+b，P在MN上，x0+mx0+b，b2x0+m由消元可得：2x2+2bxb230 4b242（b23）12b2+120恒成立，Mx+Nxb，x0，bMN中点P（，m）MN的中点在抛物线y29x上，m0或m4故选：D【点评】本题考查

18、直线与双曲线的位置关系，考查对称性，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定MN中点P的坐标二、填空题（本题包括4个小题，共20分）13（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是0.25【分析】设红、黄、白球各有a，b，c个，推导出，由此能求出摸出白球的概率【解答】解：口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，设红、黄、白球各有a，b，c个，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，摸出白球的概率是p10.40.350.25故答案为：0.25【点评】本题考

19、查概率的求法，考查古典概型概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）命题“x0，3，使x22x+m0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+）【分析】写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围【解答】解：命题“x0，3时，满足不等式x22x+m0是假命题，命题“x0，3时，满足不等式x22x+m0”是真命题，mx2+2x在0，3上恒成立，令f（x）x2+2x，x0，3，f（x）maxf（1）1，m1故答案为：（1，+）【点评】本题考查了命题的真假判断与应

20、用、二次函数恒成立问题解答关键是将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立，进一步将不等式恒成立转化为函数的最值15（5分）不等式|x+1|+|x2|4的解集为【分析】由条件利用绝对值的几何意义求得不等式的解集【解答】解：利用绝对值的几何意义得，|x+1|+|x2|表示数轴上的x对应点到1、2对应点的距离之和，而和对应点到1、2对应点的距离之和正好等于4，故不等式的解集为，故答案为：【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题16（5分）已知抛物线y2x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2（其中O为坐标原点），则直线AB恒过定点（2，0）【分析】根据题意可设，从而根

21、据及A，B位于x轴的两侧可得出y1y22，然后可讨论直线AB是否与x轴垂直：直线AB与x轴垂直时，可得出直线AB过定点（2，0）；当直线AB与x轴不垂直时，可得出（y1+y2）yx2，从而得出直线AB过定点（2，0）【解答】解：据题意设，则：，且A，B位于x轴的两侧，即y1y20，解得y1y22，直线A，B与x轴垂直时，取，则直线AB的方程为：x2，过定点（2，0）；直线AB不与x轴垂直，即存在斜率时，斜率，直线AB的方程为：，整理得，（y1+y2）yx2，直线AB过定点（2，0），综上得，直线AB恒过定点（2，0）故答案为：（2，0）【点评】本题考查了利用坐标解决直线与曲线问题的方法，向量数

22、量积的坐标运算，直线的点斜式方程，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于中档题三、解答题（本题包括6个小题，共80分）17（10分）已知函数f（x）的定义域为R（）求实数a的取值范围；（）若a的最大值为k，且m+n2k（m0，n0），求+的最小值【分析】（）由题意可得，|2x1|+|x+1|a0，从而有a|2x1|+|x+1|，根据绝对值的几何意义可求，（）由（）可知k，从而可求m+n3，然后结合+（+）（m+n），结合基本不等式可求【解答】解：（）|2x1|+|x+1|a0，a|2x1|+|x+1|，根据绝对值的几何意义可得|2x1|+|x+1|的最小值为，a，（）由（）可知a的最大值为km+

23、n3，+（+）（m+n）3当且仅当，即m，n时等号成立，所以+的的最小值为3【点评】本题考查了绝对值不等式的性质及“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题18（12分）已知数列an前n项和为Sn，首项为a1，且，Sn构成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足bn（log2a2n+1）（log2a2n+3），求证：【分析】（1）当n1时，解得a1，当n2时，Sn12an1，两式相减，推导出数列an是首项为，公比为2的等比数列，由此能数列an的通项公式（2）bn（log2a2n1）（log2a2n+3）（2n1）（2n+1），（），由此能证明【解答】解：（1）成等差数列，当n1时，

24、解得a1，当n2时，Sn12an1，两式相减，得：anSnSn12an2an1，2，数列an是首项为，公比为2的等比数列，an2n2证明：（2）bn（log2a2n+1）（log2a2n+3）（2n1）（2n+1），（），（1）+（）+（）（1）（nN*），【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项的倒数的和的求法，考查等比数列、等差数列、裂项求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（12分）有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知在全部105人中随机抽取

25、1人为优秀的概率为（1）请完成上面的联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号试求抽到6号或10号的概率参考公式：K2，其中na+b+c+d概率表P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635【分析】（）由全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为 ，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值（2）我们可以根据列联表中的数据，代入公式K2

26、计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案（3）本小题考查的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件抽到6或10号的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解【解答】解：（1）优秀非优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105（2）根据列联表中的数据，得到k26.1093.841因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”（3）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6），共36个事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，

27、1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个P（A）【点评】独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式K2计算出k2值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案20（12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosC2ac（）求B；（）若ABC的面积为，求b的取值范围【分析】（1）根据正弦定理结合sinAsin（B+C），化简整理得2cosBsinCsinC，结合sinC0解出cosB，从而可得B（2）由正弦定理的面积公式，得，从而解出ac4，再结合基本不等式求最值和三角形两边之和大于第三边，即可得到b的取值范围

28、【解答】解：（1）由正弦定理，得2sinBcosC2sinAsinC，（2分）在ABC中，sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC，2cosBsinCsinC，又C是三角形的内角，可得sinC0，2cosB1，可得cosB，B是三角形的内角，B（0，），B（6分）（2）SABC，B，解之得ac4，（8分）由余弦定理，得b2a2+c22accosBa2+c2ac2acacac4，（当且仅当ac2时，“”成立）当且仅当ac2时，b的最小值为2（12分）综上所述，边b的取值范围为2，+）（13分）【点评】本题给出三角形的边角关系，求角B的大小，并在已知面积的情况下求边b的取值范围着

29、重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式和三角恒等变换等知识，属于中档题21（12分）在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB2（1）求证：PCAE；（2）求证：CE平面PAB；（3）求三棱锥PACE的体积V【分析】（1）取PC中点F，利用等腰三角形的性质可得PCAF，先证明CD平面PAC，可得CDPC，从而EFPC，故有PC平面AEF，进而证得PCAE（2）取AD中点M，利用三角形的中位线证明EM平面PAB，利用同位角相等证明MCAB，得到平面EMC平面PAB，证得EC平面PAB（3）由（1）知AC2，EFCD，且EF平面

30、PAC，求得EF 的值，代入VEF，进行运算【解答】解：（1）在RtABC中，AB1，BAC60，BC，AC2取PC中点F，连AF，EF，PAAC2，PCAFPA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又ACD90，即CDAC，CD平面PAC，CDPC，EFPC，PC平面AEF，PCAE（2）证明：取AD中点M，连EM，CM则EMPAEM平面PAB，PA平面PAB，EM平面PAB在RtACD中，CAD60，ACAM2，ACM60而BAC60，MCABMC平面PAB，AB平面PAB，MC平面PABEMMCM，平面EMC平面PABEC平面EMC，EC平面PAB（3）由（1）知AC2，EFCD，且

31、EF平面PAC在RtACD中，AC2，CAD60，CD2，得EF则VVEPACSPACEF（22）【点评】本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，取PC中点F，AD中点M，利用三角形的中位线的性质是解题的关键22（12分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，椭圆C的长半轴长为2（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：ykx与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，求出椭圆C的几何量，然后求解椭圆方程（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O理由如下：设点

32、A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程代入，利用韦达定理以及向量的数量积，转化求解即可【解答】（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，解得，（2分）所以b2a2c2431，故所求椭圆C的方程为.（4分）（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程代入，并整理，得（*）（6分）则，（8分）因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即x1x2+y1y20又，于是，（10分）解得，.（11分）经检验知：此时（*）式的0，符合题意所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查存在性问题的处理方法，考查计算能力