2018-2019学年广西梧州市高二（下）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2018-2019学年广西梧州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设全集UxN|1x5，集合A1，3，则集合UA的子集的个数是（）A16B8C7D42（5分）已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z13i（i为虚数单位），则（）AiB+iCiD+i3（5分）空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如表所示：如图是某城市2018年12月全月的AQI指数变化统计图：根据统计图判断，下列结论正确的是（）A整体上看，这个月的空气质量越来越差B整体上看，前

2、半月的空气质量好于后半个月的空气质量C从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值4（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）ABCD5（5分）已知满足sin，那么值为（）ABCD6（5分）等差数列an中的a2、a4030是函数的两个极值点，则log2（a2016）（）A2B3C4D57（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A

3、24B30C10D608（5分）、是两个非零向量，且|，则与+的夹角为（）A30B45C60D909（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A73B61C55D6310（5分）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C对边，若2sinBsinA+sinC，cosB，且SABC6，则b（）A2B3C4D511（5分）已知函数f（x）为R内的奇函数，且当x0时，f（x）ex+1+mcosx，记a2f（2），bf（1），c3f（3），则a，b，c间的大小关系是（）AbacBacbCcabDcba12（5分）设抛物线y22x的焦点为F，过点M（）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相

4、交于点C，|BF|2，则BCF与ACF的面积之（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数yaxex的图象在x0处的切线与直线yx互相垂直，则a 14（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值是 15（5分）当双线M：1的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为 16（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，g（x）（x1）3+1，若函数f（x）图象与函数g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x2019，y2019），则（xi+yi） 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每

5、个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17（12分）设数列an的前n项和为Sn，且满足a1r，Snan+1（nN*）（1）若an为等比数列，求r的值及数列an的通项公式；（2）在（1）的条件下，设bn2n+log2an，求数列bn的前n项和Tn18（12分）从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：（）求这1000件产品质量指标的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（，2），其中近似为样本

6、平均数，2近似为样本方差s2（i）利用该正态分布，求P（175.6Z224.4）；（ii）已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品（质量指标值Z（175.6，224.4）的定价为16元；若为次品（质量指标值Z（175.6，224.4），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元若该公司卖出100件这种产品，记Y表示这件产品的利润，求E（Y）附：12.2若ZN（，2），则P（Z+）0.68，P（2Z+2）0.9519（12分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，1，2，4，M为侧面AA1CC1的对角线的交点，D、E分别为棱，的中点（1）求证：平面MDE平面A1BC1；（2）求

7、二面角CMED的余弦值20（12分）已知椭圆C：1（ab0）的长轴长为6，且椭圆C与圆M：（x2）2+y2的公共弦长为（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，2）作斜率为k（k0）的直线l与椭圆交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得ADB为以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点D的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由21（12分）已知a0，函数g（x）x3（a+2）x2+x（x0），f（x）ax2（a+2）x+lnx+2（1）讨论函数g（x）在（0，+）上的单调性；（2）若f（x）0在x，1内有解，求a的取值范围选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则

8、按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），直线C2的普通方程为y以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+a|+|x2|（1）若f（x）的最小值为3，求实数a的值；（2）若a2时，不等式f（x）4的解集为A，当m，nA时，求证：|mn+4|2|m+n|2018-2019学年广西梧州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小

9、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设全集UxN|1x5，集合A1，3，则集合UA的子集的个数是（）A16B8C7D4【分析】根据补集的定义求出UA，可得所有子集得答案【解答】解：全集UxN|1x50，1，2，3，4，集合A1，3，则集合UA0，2，4，则集合UA的子集的个数是238，故选：B【点评】本题考查了补集的运算，考查了集合的子集，是基础题2（5分）已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z13i（i为虚数单位），则（）AiB+iCiD+i【分析】由已知求得z23+i，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由题意，复数z1，z2在复平面内的

10、对应点关于实轴对称，z13i，则z23+i，故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3（5分）空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如表所示：AQI05051100101150151200201300300以上空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的AQI指数变化统计图：根据统计图判断，下列结论正确的是（）A整体上看，这个月的空气质量越来越差B整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量C从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D从AQI数据看，前半月的平均值小于

11、后半月的平均值【分析】从整体上看AQI指数变化图越来越低，空气质量越来越好，从数据的集中程度来看，后半个月比前半个月集中些，从数据大小来看，前半个月数据大于后半个月数据【解答】解：从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确故选：C【点评】本题考查了函数的表示方法，属中档题4（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角

12、形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）ABCD【分析】设边长AB2，求出BCI和平行四边形EFGH的面积，计算对应的面积比即可【解答】解：设AB2，则BCCDDEEF1，SBCI，S平行四边形EFGH2SBCI2，所求的概率为P故选：A【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题5（5分）已知满足sin，那么值为（）ABCD【分析】利用两角和差的三角公式、二倍角公式，求得要求式子的值【解答】解：sin，那么（cossin）（cos+sin）sin2cos2（12s

13、in2）（12），故选：C【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题6（5分）等差数列an中的a2、a4030是函数的两个极值点，则log2（a2016）（）A2B3C4D5【分析】求函数的导数，由题意可得a2、a4030是对应方程的实根，由韦达定理可得a2+a4030的值，然后由等差数列的性质可得a2016的值，代入化简即可【解答】解：，f（x）x28x+6，等差数列an中的a2、a4030是函数的两个极值点，a2+a40308，log2（a2016）log242故选：A【点评】本题考查等差数列的性质和韦达定理，属基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、导数知

14、识的合理运用7（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A24B30C10D60【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体，几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，所以该几何体的体积为：V三棱柱V三棱锥34534324故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状8（5分）、是两个非零向量，且|，则与+的夹角为（）A30B45C60D90【分析】本题主要考查

15、两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，由条件利用数形结合可得与+的夹角【解答】解：如图所示：设，则，以OA、OB为邻边，作平行四边形OACB，则 +，AOC为与+的夹角由|，可得OAB 为等边三角形，故平行四边形OACB为菱形，AOC30，故选：A【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题9（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A73B61C55D63【分析】求出展开式中所有各项系数和，以及展开式中的常数项，再求展开式中剔除常数项后的各项系数和【解答】解：展开式中所有各项系数和为（23）（1+1）664；（2x3）（1+），其展开式中的常数项为3+129

16、，所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为64973故选：A【点评】本题考查了二项式展开式的所有项系数和以及常数项的计算问题，是基础题10（5分）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C对边，若2sinBsinA+sinC，cosB，且SABC6，则b（）A2B3C4D5【分析】将2sinBsinA+sinC，利用正弦定理化简，得到2bc+a，由cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形面积公式可求ac15，进而利用余弦定理解得b的值【解答】解：已知等式2sinBsinA+sinC，利用正弦定理化简得：2ba+c，cosB，可得：sinB，SABCacsinBac6，可解得：

17、ac15，由余弦定理可得：b2a2+c22accosB（a+c）22ac（1+cosB）4b2215（1+），可解得：b4故选：C【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式以及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题11（5分）已知函数f（x）为R内的奇函数，且当x0时，f（x）ex+1+mcosx，记a2f（2），bf（1），c3f（3），则a，b，c间的大小关系是（）AbacBacbCcabDcba【分析】由已知结合f（0）0，可得m值，进而得到函数的解析式，令g（x）xf（x），则g（x）为偶函数且在x0时为减函数，进而得

18、到答案【解答】解：函数f（x）为R内的奇函数，且当x0时，f（x）ex+1+mcosx，f（0）1+1+m0，即m0，f（x）ex+1，令g（x）xf（x），g（x）为偶函数且在x0时为减函数，则a2f（2）g（2）g（2），bf（1）g（1）g（1），c3f（3）g（3），故cab，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档12（5分）设抛物线y22x的焦点为F，过点M（）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|2，则BCF与ACF的面积之（）ABCD【分析】求出B的坐标，根据根与系数的关系得出A的坐标，从而得出A，B到准线的距离比【解答

19、】解：抛物线准线为x，过A，B作准线的垂线AP，BQ，则BQBF2，不妨设B在第一象限，则B（，），设直线AB的方程为xmy+，联立方程组，消去x可得y22my20，yAyB2，故而yA2，xA2，APxA+，故选：B【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数yaxex的图象在x0处的切线与直线yx互相垂直，则a1【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可【解答】解：函数yaxex在x0处的切线与直线yx垂直，函数yaxex在x0处的切线斜率k1，f（x）a

20、ex+axex，f（0）a1，得a1，故答案为：1【点评】本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键14（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值是【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由解得A（1，3），则z的几何意义为动点P到定点P（1，2）的斜率，由图象可知当P位于A（1，3）时，直线AP的斜率最大，此时z，故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键15（5分）当双线M：1的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为y2x【

21、分析】求出双曲线的离心率的表达式，然后求解最小值，求出m，即可情况双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线M：1，显然m0，双曲线的离心率e，当且仅当m2时取等号，此时双曲线M：1的双曲线的渐近线方程为：y2x故答案为：y2x【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查16（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，g（x）（x1）3+1，若函数f（x）图象与函数g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x2019，y2019），则（xi+yi）4038【分析】由函数图象的对称性得：函数f（x）图象与函数g（x）图象的交点关于点（1，1）对称，则x1+x

22、2019x2+x2018x3+x20172x10102，y1+y2019y2+y2018y3+y20172y10102，即（xi+yi）4038，得解【解答】解：由g（x）（x1）3+1，得函数yg（x）的图象关于点（1，1）对称，又函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，则函数f（x）图象与函数g（x）图象的交点关于点（1，1）对称，则x1+x2019x2+x2018x3+x20172x10102，y1+y2019y2+y2018y3+y20172y10102，故x1+x2+x2018+x20192019，y1+y2+y2018+y20192019，即（xi+yi）4038，故答案为：403

23、8【点评】本题考查了函数图象的对称性，属中档题三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17（12分）设数列an的前n项和为Sn，且满足a1r，Snan+1（nN*）（1）若an为等比数列，求r的值及数列an的通项公式；（2）在（1）的条件下，设bn2n+log2an，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得bn2n+log2an2n+n6结合数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，化简可得所求

24、和【解答】解：（1）当n1时，S1a2，a2a1+，当n2时，Sn1an，与已知式Snan+1，作差得anan+1an，即an+12an（n2），欲使an为等比数列，则a22a12r，a1，即r，故数列an是以为首项，2为公比的等比数列，所以an2n6；（2）由（1）得bn2n+log2an2n+n6前n项和Tn（2+4+2n）+（54+n6）+n（n11）2n+12+n（n11）【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，数列的分组求和，化简运算能力，属于中档题18（12分）从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布

25、直方图：（）求这1000件产品质量指标的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2（i）利用该正态分布，求P（175.6Z224.4）；（ii）已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品（质量指标值Z（175.6，224.4）的定价为16元；若为次品（质量指标值Z（175.6，224.4），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元若该公司卖出100件这种产品，记Y表示这件产品的利润，求E（Y）附：12.2若ZN（，2），则P（Z+）0.68，P（2Z+2）

26、0.95【分析】（）根据图中的数据及平均数、方差的定义可得所求（）（i）根据正态分布中特殊区间上的概率求解；（ii）先由正态分布得到EX95，然后再根据均值的线性性质求解即可【解答】解（）由题意得1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02200s2（170200）20.02+（180200）20.09+（190200）20.22+（200200）20.33+（210200）20.24+（220200）20.08+（230200）20.02150，即样本平均数为200，样本方差为150（）（i）由（）可知，200，12.2，ZN

27、（200，12.22），P（175.6Z224.4）P（2+）0.95，（ii）设X表示100件产品的正品数，由题意得XB（100，0.95）EX1000.9595，EY16EX48510010280【点评】本题考查频率分布直方图的应用及利用正态分布求特殊区间上的概率，考查应用数学知识解决问题的能力和计算能力，解答本题的关键是读懂题意，并从中得到解题需要的数据，属于中档题19（12分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，1，2，4，M为侧面AA1CC1的对角线的交点，D、E分别为棱，的中点（1）求证：平面MDE平面A1BC1；（2）求二面角CMED的余弦值【分析】（1）由D、E

28、分别为边AB、BC的中点，得DEAC，再由直三棱柱可知侧面AA1C1C为矩形，得A1C1DE，证明A1BME，由面面平行的判断可得平面MDE平面A1BC1；（2）分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面CME与平面DME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角CMED的余弦值【解答】（1）证明：D、E分别为边AB、BC的中点，DEAC，又由直三棱柱可知侧面AA1C1C为矩形，可得A1C1AC，故有A1C1DE，由直三棱柱可知侧面AA1C1C为矩形，可得M为A1C的中点，又由E为BC的中点，可得A1BME由DE，ME平面MDE，A1C1，BC1平面MDE

29、，得A1C1平面MDE，BC1平面MDE，A1CBC1C1，可得平面MDE平面A1BC1（2）分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，4），M（，0，2），D（，1，0），E（0，1，0），设平面CME的一个法向量为由，取z1，有；同样可求出平面DME的一个法向量，cos，结合图形二面角CMED的余弦值为【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题20（12分）已知椭圆C：1（ab0）的长轴长为6，且椭圆C与圆M：（x2）2+y2的公

30、共弦长为（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，2）作斜率为k（k0）的直线l与椭圆交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得ADB为以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点D的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）由已知长轴长可以求出a，公共弦长是圆的直径，可得椭圆C经过，代入椭圆方程可解得b，继而写出方程；（2）写出直线l的方程，利用反证法假设存在D，进行进一步计算求出结果即可【解答】解：（1）由题意得2a6，所以a3由椭圆C与圆M：的公共弦长为，恰为圆M直径，可得椭圆C经过所以，解得b28所以椭圆C的方程为（2）直线l的解析式为ykx+2，设A（x1，y1），B（x2

31、，y2），AB的中点为E（x0，y0）假设存在点D（m，0），使得ADB为以AB为底边的等腰三角形，则DEAB由得，（8+9k2）x2+36kx360，故，所以因为DEAB，所以，即，所以当k0时，所以；当k0时，所以综上，在x轴上存在满足题目条件的点D，且点D的横坐标的取值范围【点评】此题考查了椭圆与圆的知识，和平面几何知识融合求面积，运算量大，易错21（12分）已知a0，函数g（x）x3（a+2）x2+x（x0），f（x）ax2（a+2）x+lnx+2（1）讨论函数g（x）在（0，+）上的单调性；（2）若f（x）0在x，1内有解，求a的取值范围【分析】（1）讨论a，利用函数g（x）的导函数

32、和单调性可得函数在（0，+）上的单调性；（2）若f（x）0在x，1内有解，转换成f（x）min0，讨论a求函数的最值可得a的取值范围【解答】解：（1）函数g（x）x3（a+2）x2+x（x0），g（x）2ax2（a+2）x+1，令g（x）0，解得：x1，x2；当时，即a2时，在（0，），（，+）上，函数g（x）单调递增，在（，）上，函数g（x）单调递减；当时，即a2时，函数g（x）在定义域（0，+）上单调递增；当时，即0a2时，在（0，），（，+）上，函数g（x）单调递增，在（，）上，函数g（x）单调递减（2）f（x）0在x，1内有解，f（x）ax2（a+2）x+lnx+2，则f（x）min0

33、，所以：f（x）2ax（a+2）x+）（x0）；由（1）可知，当时，即a2时，x，1，f（x）0，函数f（x）在，1上单调递增，f（x）minf（）+ln+20，解得：a4（1ln2），所以：a2；当1，即：1a2时，x，1，在x，时，f（x）0，函数f（x）在，上单调递减，在x，1时，f（x）0，函数f（x）在，1上单调递增，f（x）minf（）+ln+2+1+ln，令t（，1），h（t）t+1+lnt，（t1），h（t）1+0，函数h（t）在（，1）上单调递增h（t）h（1）0恒成立，1a2当1，即：0a1时，x，1，f（x）0，函数f（x）在，1上单调递减，f（x）minf（1）0，f（

34、x）min0，不成立综上所述：a1【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题，分类讨论属于难题选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），直线C2的普通方程为y以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求【分析】（1）先将曲线C1的参数方程化为普通方程，再

35、化为极坐标方程；根据直线过原点，即可得C2的极坐标方程；（2）联立直线的极坐标方程与曲线C1的极坐标方程，根据极径的关系代入即可求得的值【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（为参数），得曲线C1的普通方程为（x3）2+（y3）24，曲线C1的极坐标方程为（cos3）2+（sin3）24，即26cos6sin+140直线C2过原点，且倾斜角为，直线C2的极坐标方程为（R）；（2）设点A，B对应的极径分别为1，2，由，得，1214，又10，20，【点评】本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的转化，利用极坐标求线段和，属于中档题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+a|+|x2|（

36、1）若f（x）的最小值为3，求实数a的值；（2）若a2时，不等式f（x）4的解集为A，当m，nA时，求证：|mn+4|2|m+n|【分析】（1）根据f（x）|x+a|+|x2|（x+a）（x2）|a+2|，可得|a+2|3，从而得到a的值（2）解不等式f（x）4得到A后，由（mn+4）24（m+n）2（m24）（n24）0即可得证【解答】解：（1）f（x）|x+a|+|x2|（x+a）（x2）|a+2|，当且仅当（x+a）（x2）0时取等号，|a+2|3，解得a+1或a5（2）当a2时，f（x）|x+a|+|x2|，当x2时，由f（x）4，得2x4，解得x2，又x2不等式无实数解；当2x2时，f（x）4恒成立，2x2；当x2时，由f（x）4，得2x4，解得x2，又x2，x2；f（x）4的解集为A2，2（mn+4）24（m+n）2（m2n2+8mn+16）4（m2+n2+2mn）m2n2+164m24n2（m2n24m2）+（164n2）（m24）（n24）m，n2，2，m240，n240，（mn+4）24（m+n）20，即（mn+4）24（m+n）2，|mn+4|2|m+n|【点评】本考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值三角不等式求最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题