2018-2019学年广西南宁市青秀区高二（下）期中数学试卷（理科）含详细解答

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1、一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A1+iB1iC1+iD1i2（5分）曲线yx32x在（1，1）处的切线方程为（）Axy20Bxy+20Cx+y20Dx+y+203（5分）函数f（x）xlnx的单调递减区间为（）A（，1）B（1，+）C（0，1）D（0，+）4（5分）设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是（）ABCa2b2Dab2a2b5（5分）（）AB2CD46（5分）过抛物线y2mx（m0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，则m（）A6B4C10D87（5分）用数学归纳法证明“1+n（n

2、2）”时，由nk的假设证明nk+1时，不等式左边需增加的项数为（）A2k1B2k1C2kD2k+18（5分）设函数f（x）xlnx（x0），则yf（x）（）A在区间（ ，1），（1，e）内均有零点B在区间（ ，1），（1，e）内均无零点C在区间（ ，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点D在区间（ ，1），内无零点，在区间（1，e）内有零点9（5分）若点O和F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（）A42B0C1D4+210（5分）已知点F是双曲线1（a0，b0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，ABE是锐角三角形，则该

3、双曲线的离心率e的取值范围是（）A（1，+）B（1，2）C（1，1+）D（2，1+）11（5分）已知函数f（x）x3+ax2+2bx（a，bR）的两个极值点分别在（2，0）和（0，1）内，则2a+b的取值范围是（）A（4，1）B（4，3）C（3，0）D（3，6）12（5分）已知函数f（x+2）是偶函数，且当x2时满足xf（x）2f（x）+f（x），则（）A2f（1）f（4）B2f（）f（4）Cf（0）4f（）Df（1）f（3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）由y2x与曲线y3x2所围成的图形的面积为   14（5分）已知椭圆的左、右焦点为F1、F2，点F

4、1关于直线yx的对称点P仍在椭圆上，则PF1F2的周长为   15（5分）已知向量（ex+，x），（1，t），若函数f（x）在区间（1，1）上存在增区间，则t 的取值范围为   16（5分）已知函数f（x），则函数g（x）3f（x）22f（x）m有5个零点时m的范围   三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且（）求角A的大小；（）若b+c5，且ABC的面积为，求a的值18（12分）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且（1）求Sn；（2）设，数列的前n项和Tn，证明Tn119（12分）某品

5、牌新款夏装即将上市，为了对夏装进行合理定价，在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售，得到如下数据：连锁店A店B店C店售价x（元）808682888490销售量y（件）887885758266（1）以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为散点，求出售价与销量的回归直线方程；（2）在大量投入市场后，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该夏装成本价为40元/件，为使该款夏装在销售上获得最大利润，该款夏装的单价应定为多少元（保留整数）？20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）

6、若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值21（12分）已知椭圆的焦点坐标为F1（1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|3（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由22（12分）已知函数（1）若f（x）有两个极值点，求实数m的取值范围：（2）若函数g（x）xlnxmx2elnx+emx有且只有三个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，设x1x2x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值2018-2019学年广西

7、南宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A1+iB1iC1+iD1i【分析】化简已知复数z，由共轭复数的定义可得【解答】解：化简可得z1+i，z的共轭复数1i故选：B【点评】本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题2（5分）曲线yx32x在（1，1）处的切线方程为（）Axy20Bxy+20Cx+y20Dx+y+20【分析】根据题意，求出曲线的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率ky|x1，结合切点的坐标计算可得答案【解答】解：根据题意，曲线的方程为yx32x，则其导数y

8、3x22，则切线的斜率ky|x1321，则切线的方程为y1（x+1），变形可得xy+20；故选：B【点评】本题考查利用导数计算函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义3（5分）函数f（x）xlnx的单调递减区间为（）A（，1）B（1，+）C（0，1）D（0，+）【分析】先求出函数的导数，令导函数小于0，解不等式，进而求出函数的递减区间【解答】解：f（x）1，（x0），令f（x）0，解得：0x1，f（x）在（0，1）递减，故选：C【点评】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题4（5分）设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是（）ABCa2b2Dab2a2b【分析】A，C，D

9、取特殊值，D利用不等式的性质证明即可【解答】解：a1，b1，则A，C不成立；a2，b1，则D不成立，对于B，左右0，成立故选：B【点评】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础5（5分）（）AB2CD4【分析】由于F（x）x2+sinx为f（x）x+cosx的一个原函数即F（x）f（x），根据abf（x）dxF（x）|ab公式即可求出值【解答】解：（ x2+sinx）x+cosx，（x+cosx）dx（ x2+sinx） 2故选：B【点评】此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题6（5分）过抛物线y2mx（m0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线

10、段PQ中点的横坐标为3，则m（）A6B4C10D8【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），根据过抛物线y2mx（m0）的焦点F（，0），可设直线方程为xky+，代入抛物线方程可得y2mky0，根据韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式即可求出【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），过抛物线y2mx（m0）的焦点F（，0），设直线方程为xky+，代入抛物线方程可得y2mky0，y1+y2mk，y1y2，|PQ|2（1+k2）（y1+y2）24y1y2（1+k2）（m2k2+m2）m2，（k2+1）2，k2+1，k2x1+x2k（y1+y2）+mk2+m+m23，解得m8，故选：D【

11、点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长公式，中点坐标公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题7（5分）用数学归纳法证明“1+n（n2）”时，由nk的假设证明nk+1时，不等式左边需增加的项数为（）A2k1B2k1C2kD2k+1【分析】分别写出nk和nk+1时，不等式左边的所有项，根据分母特点计算多出的项数【解答】解：nk时，左边1+，当nk+1时，左边1+左边增加的项数为2k+11（2k1）2k+12k2k故选：C【点评】本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题8（5分）设函数f（x）xlnx（x0），则yf（x）（）A在区间（ ，1），（1，e）内均有零点B在区间（ ，1），（1

12、，e）内均无零点C在区间（ ，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点D在区间（ ，1），内无零点，在区间（1，e）内有零点【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案【解答】解：由题得f（x），令f（x）0得x3；令f（x）0得0x3；f（x）0得x3，故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+）为增函数，在点x3处有极小值1ln30；又f（1）0，f（e）10，f（）+10，故选：D【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减9（5分）若点O和F分别为椭圆的中

13、心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（）A42B0C1D4+2【分析】由题意，F（1，0），设点P（x0，y0），则有+1，解得3（1），利用数量积运算性质可得+x0+3，再利用二次函数的单调性即可得出、【解答】解：由题意，F（，0），设点P（x0，y0），则有+1，解得1，（x0+，y0），（x0，y0），（x0+）x0+（x0+）x0+（1）+x0+1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x，2x02，当x0时，则的最小值为0故选：B【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）已知点F是双曲线1（a0，

14、b0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A（1，+）B（1，2）C（1，1+）D（2，1+）【分析】根据双曲线的对称性，得到等腰ABE中，AEB为锐角，可得|AF|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围【解答】解：根据双曲线的对称性，得ABE中，|AE|BE|，ABE是锐角三角形，即AEB为锐角由此可得RtAFE中，AEF45，得|AF|EF|AF|，|EF|a+ca+c，即2a2+acc20两边都除以a2，得e2e20，解之得1e2双曲线的离心

15、率e1该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选：B【点评】本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题11（5分）已知函数f（x）x3+ax2+2bx（a，bR）的两个极值点分别在（2，0）和（0，1）内，则2a+b的取值范围是（）A（4，1）B（4，3）C（3，0）D（3，6）【分析】f（x）3x2+2ax+2b，根据函数f（x）x3+ax2+2bx（a，bR）的两个极值点分别在（2，0）和（0，1）内，可得，画出可行域，令t2a+b，可得b2a+t根据截距的意义即可得出【解答】解：f（x）3x

16、2+2ax+2b，函数f（x）x3+ax2+2bx（a，bR）的两个极值点分别在（2，0）和（0，1）内，即，画出可行域：令t2a+b，可得b2a+t此直线经过（，0）时，t3；此直线经过（3，0）时，t63t62a+b的取值范围是（3，6）故选：D【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、直线的截距，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知函数f（x+2）是偶函数，且当x2时满足xf（x）2f（x）+f（x），则（）A2f（1）f（4）B2f（）f（4）Cf（0）4f（）Df（1）f（3）【分析】根据条件，构造函数h（x），利用函数的单调性

17、和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：由xf（x）2f（x）+f（x），得（x2）f（x）f（x）0，设h（x），则h（x），（x2）f（x）f（x）0，当x2时，h（x）0，此时函数单调递增f（x+2）是偶函数，f（x+2）关于x0对称，即f（x）关于x2对称，即f（1）f（3），故D错误，f（）f（），f（0）f（4），则h（）h（4），即，即4f（）f（4），即4f（）f（0），即故C错误，同时4f（）4f（）f（4），由h（3）h（4），得，即2f（3）f（4），2f（1）2f（3）f（4），即2f（1）f（4），故选：A【点评】本题主要考查导数的应用，根据不等式关

18、系构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）由y2x与曲线y3x2所围成的图形的面积为【分析】求得y2x与曲线y3x2的交点坐标，根据定积分的几何意义及计算，即可求得答案【解答】解：解方程组，解得：，A（3，6），B（1，2），y2x与曲线y3x2所围成的图形的面积S（3x22x）（3xx3x2）（31）3（3）（3）3（3）2，故答案为：【点评】本题考查定积分的运算，考查数形结合思想，属于中档题14（5分）已知椭圆的左、右焦点为F1、F2，点F1关于直线yx的对称点P仍在椭圆上，

19、则PF1F2的周长为2+2【分析】设出椭圆的左焦点，关于直线yx的对称点P（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为1，以及中点坐标公式解得m0，nc，由椭圆方程可得bc1，进而得到a的值，再由椭圆的定义可得周长为2a+2c【解答】解：设椭圆的左焦点为（c，0），点F1关于直线yx的对称点P（m，n），由1，解得m0，nc，即P（0，c），由题意方程可得bc1，a，由题意的定义可得PF1F2的周长为2a+2c2+2故答案为：2+2【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查点关于直线对称的条件，考查运算能力，属于基础题15（5分）已知向量（ex+，x），（1，t），若函数f（x）在区间（1，1

20、）上存在增区间，则t 的取值范围为（，e+1）【分析】先利用数量积的坐标表示求出，f（x），然后对函数求导，由题意可知函数f（x）在（x1，x2）（1，1）上单调递增，结合函数的单调性与导数的关系即可求解【解答】解：由题意可得，f（x）对函数求导可得，f，（x）ex+xt函数f（x）在（1，1）上存在增区间函数f（x）在（x1，x2）（1，1）上单调递增，故ex+xt在x（x1，x2）时时恒成立，故te+1故答案为：（，e+1）【点评】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数的关系及函数的恒成立问题求解参数的转化的应用16（5分）已知函数f（x），则函数g（x）3f（x）22f（x）m有5个零点

21、时m的范围0m1【分析】设tf（x），作出函数f（x）的图象，利用函数g（x）的零点个数转化为一元二次函数零点问题，利用根的分布进行求解即可【解答】解：设tf（x），当x0时，f（x）4x36x2+1，则f（x）12x212x12x（x1），由f（x）0得x1，由f（x）0得0x1，即当x1时，函数f（x）取得极小值f（1）1，作出函数f（x）的图象如图：则当t1或1t0时，方程tf（x）有2个不同的根，当0t1时，方程tf（x）有3个不同的根，当t0时，方程tf（x）有1个不同的根，当t0时，方程tf（x）有0个不同的根，要使g（x）3f（x）22f（x）m有5个零点，则等价为h（t）3t2

22、2tm有两个不同的零点，t1，t2，满足0t11，t21或者0t11，1t20，若0t11，t21，则满足（红色曲线）得，此时无解，若0t11，1t20，则满足，得，得0m1，综上实数m的取值范围是0，1），故答案为：0，1）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数零点问题，利用根的分布是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且（）求角A的大小；（）若b+c5，且ABC的面积为，求a的值【分析】（）由正弦定理化简已知，结合sinC0，利用两角差的正弦函数公式可得si

23、n（A）1可求范围A，进而可求A的值（）由已知利用三角形面积公式可得bc4，结合b+c5，由余弦定理可得a的值【解答】（本题满分为10分）解：（），由正弦定理得，sinC0，sinAcosA2，即sin（A）10A，A，A，A（）由：SABCbcsinAbc，bc4，b+c5，由余弦定理得：a2b2+c22bccosA（b+c）2bc21，a【点评】本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题18（12分）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且（1）求Sn；（2）设，数列的前n项和Tn，证明Tn1

24、【分析】（1）由递推式，将n换为n+1，相减可得（an+1+an）（an+1an2）0，结合条件和等差数列的定义，由求和公式可得所求和；（2）运用分子有理化，以及数列的裂项相消求和，化简整理，由不等式的性质即可得证【解答】解：（1）由可得an+12+2an+14Sn+1，两式作差得an+12an22an+1+2an，即（an+1+an）（an+1an2）0，又数列an各项均为正数，an+1an20，即an+1an2，当n1时，有，得a1（a12）0，则a12，故数列an为首项为2，公差为2的等差数列，；（2）证明：（+），1【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的通项公设求和公式，数

25、列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题19（12分）某品牌新款夏装即将上市，为了对夏装进行合理定价，在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售，得到如下数据：连锁店A店B店C店售价x（元）808682888490销售量y（件）887885758266（1）以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为散点，求出售价与销量的回归直线方程；（2）在大量投入市场后，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该夏装成本价为40元/件，为使该款夏装在销售上获得最大利润，该款夏装的单价应定为多少元（保留整数）？【分析】（1）先求出三家连锁店的平均年售价和平均销量，根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程（2）设

26、定价为x，得出利润关于x的函数f（x），利用二次函数的性质求出f（x）的极大值点【解答】解：（1）三家连锁店的平均售价和销售量分别为A（83，83），B（85，80），C（87，74）85，792.25，79（2.25）85270.25售价与销量的回归直线方程为2.25x+270.25（2）设定价为x元，则利润为f（x）（x40）（2.25x+270.25）2.25x2+360.25x10810当x80时，f（x）取得最大值，即利润最大【点评】本题考查了线性回归方程的求解，二次函数的性质，属于中档题20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABC

27、D，AB2AD2CD2E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值【分析】（）证明平面EAC平面PBC，只需证明AC平面PBC，即证ACPC，ACBC；（）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量（1，1，0），面EAC的法向量（a，a，2），利用二面角PA CE的余弦值为，可求a的值，从而可求（2，2，2），（1，1，2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值【解答】（）证明：PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，AB2，ADCD1，ACBC，AC2+BC2AB2，ACBC，又B

28、CPCC，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC（4分）（）如图，以C为原点，取AB中点F，、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，1，0）设P（0，0，a）（a0），则E（，），（6分）（1，1，0），（0，0，a），（，），取（1，1，0），则0，为面PAC的法向量设（x，y，z）为面EAC的法向量，则0，即取xa，ya，z2，则（a，a，2），依题意，|cos，|，则a2（10分）于是（2，2，2），（1，1，2）设直线PA与平面EAC所成角为，则sin|cos，|，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为（12分）【点

29、评】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题21（12分）已知椭圆的焦点坐标为F1（1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|3（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c1，由|PQ|3，可得3，又a2b21，由此可求椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y10，y20，设F1MN的内切圆的径R，则F1MN的周长4a8

30、，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R4R，因此最大，R就最大设直线l的方程为xmy+1，与椭圆方程联立，从而可表示F1MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论【解答】解：（1）设椭圆方程为1（ab0），由焦点坐标可得c1（1分）由|PQ|3，可得3，（2分）又a2b21，解得a2，b，（3分）故椭圆方程为1（4分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y10，y20，设F1MN的内切圆的径R，则F1MN的周长4a8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R4R因此最大，R就最大，（6分）由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为xmy+1，由得（3m2+4）y2+6my

31、90，（8分）得，则，（9分）令t，则t1，则，（10分）令f（t）3t+，则f（t）3，当t1时，f（t）0，f（t）在1，+）上单调递增，有f（t）f（1）4，SF1MN3，即当t1，m0时，SF1MN3，SF1MN4R，Rmax，这时所求内切圆面积的最大值为故直线l：x1，F1MN内切圆面积的最大值为（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R就最大是关键22（12分）已知函数（1）若f（x）有两个极值点，求实数m的取值范围：（2）若函数g（x）xlnxmx2elnx+emx有且只有三个不同的零点，

32、分别记为x1，x2，x3，设x1x2x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为m有两个不等的实数根，令h（x），根据函数的单调性求出函数的极值，从而求出m的范围即可；（2）令t，则t（1，e2，求出ln（x1x3）lnx1+lnx3，t（1，e2，令（t），求出函数的导数，令m（t）t2lnt，根据函数的单调性求出其最大值即可【解答】解：（1）由题意得f（x）lnxmx，x0由题知f（x）0有两个不等的实数根，即m有两个不等的实数根  （2分）令h（x），则h（x），由h（x）0，解得：0xe，故h（x）在（0，e）上单调递增；由h（x）0，解

33、得xe，故h（x）在（e，+）上单调递减；故h（x）在xe处取得极大值，且h（e）0，故0m当函数f（x）有两个极值点时，实数m的取值范围是（0，）   （5分）（2）因为g（x）xlnxmx2elnx+mex（xe）（lnxmx），显然xe是其零点由（1）知lnxmx0的两个根分别在（0，e），（e，+）上，g（x）的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0x1e，x3e （6分）令t，则t（1，e2，则由，解得，故ln（x1x3）lnx1+lnx3，t（1，e2（8分）令（t），则（t），令m（t）t2lnt，则m（t）0，所以m（t）在区间（1，e2上单调递增，即m（t）m（1）0   （11分）所以（t）0，即（t）在区间（1，e2上单调递增，即（t）（e2），所以ln（x1x2），即x1x3，所以x1x3的最大值为   （12分）【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题