2018-2019学年广西桂林十八中高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答
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1、2018-2019学年广西桂林十八中高二(下)期中数学试卷(理科)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项是符合题目要求的.1(5分)已知集合Ax|x20,Bx|lgx0,则AB()Ax|0x2Bx|0x1Cx|1x2D2(5分)已知复数z,则|z|()AB3C1D2i3(5分)“是“cos“成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4(5分)已知抛物线C:y2x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,若|AF|x0,则x0等于()A1B2C4D85(5分)如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗实线画出的是某几
2、何体的三视图,则该几何体的表面积为()ABCD6(5分)在区间0,1上随机取两个数,则这两个数之和小于的概率是()ABCD7(5分)设实数alog23,blog,c,则a,b,c的大小关系为()AbacBbcaCabcDacb8(5分)已知等比数列an的前n项和为Sn,且S6a7a1,则an的公比q()A1B2C2或3D1或29(5分)若函数f(x)x+asin2x在0,)上单调递增,则a的取值范围是()A,0B1,+)C,+)D(,10(5分)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有()A12种B18
3、种C36种D54种11(5分)已知双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),P是双曲线C右支上一点,且|PF2|F1F2|若直线PF1与圆x2+y2a2相切,则双曲线的离心率为()ABC2D312(5分)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)1,则不等式f(x)ex的解集为()A(,0)B(0,+)C(,e4)D(e4,+)二填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)已知实数x,y满足,则的最大值是 14(5分)(1+2x)3(1x)4的展开式中x的系数是 15(5分)在数列a
4、n中,已知a1a22若an+2是anan+1的个位数字,则a27 16(5分)如图所示,直四棱柱ABCDA1B1C1D1内接于半径为的半O,四边形ABCD为正方形,则该四棱柱的体积最大时,AB的长为 三解答题:本大题共6小题,共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤17(10分)在ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A3cos(B+C)1()求角A的大小;()若ABC的面积S5,b5,求sinBsinC的值18(12分)已知函数f(x)xlnx+(a1)x2(aR)(1)当a1时,求曲线yf(x)在x1处的切线方程;(2)若f(x)0在(0,+)内有两个不相等的实
5、数根,求实数a的取值范围19(12分)如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,且BAPCDP90(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PAPDABDC,APD90,求二面角APBC的余弦值20(12分)为弘扬民族古典文化,市电视台举行古诗词知识竞赛,某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答,回答正确将给该选手记正10分,否则记负10分根据以往统计,某参赛选手能答对每一个问题的概率均为;现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为Sn”(1)求S620且Si0(i1,2,3)的概率;(2)记X|S5|,求X的分布列,并计算数学期望E(X)21(12分)如图,已知椭圆C:+y21(a1)的
6、上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:x2+y26x2y+70相切()求椭圆C的方程;()不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点,且0求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标22(12分)已知函数f(x)ex1(1)若f(x)ax对x(0,+)恒成立,求a的取值范围;(2)数列(nN*)的前n项和为Tn,求证:Tn2018-2019学年广西桂林十八中高二(下)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项是符合题目要求的.1(5分)已知集合Ax|x20,Bx|lgx0,则AB()Ax|0x2Bx|0x1Cx
7、|1x2D【分析】可求出集合A,B,然后进行交集的运算即可【解答】解:Ax|x2,Bx|0x1;ABx|0x1故选:B【点评】考查描述法表示集合的定义,对数函数的单调性,以及交集的运算2(5分)已知复数z,则|z|()AB3C1D2i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解【解答】解:z,|z|故选:A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题3(5分)“是“cos“成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义和三角函数的值即可判断【解答】解:由一定能推出cos,当由cos,则不一
8、定推出,故“是“cos“成立的充分不必要条件,故选:A【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义和三角函数的值,属于基础题4(5分)已知抛物线C:y2x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,若|AF|x0,则x0等于()A1B2C4D8【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出【解答】解:抛物线C:y2x的焦点为F(,0)A(x0,y0)是C上一点,|AF|x0,x0x0+,解得x01故选:A【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式,属于基础题5(5分)如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()ABCD【分析】由几何体的三视图得:该几何
9、体是三棱锥SABC,其中平面SACABC,SAABBCSCSB2,AC4,由此能求出该几何体的表面积【解答】解:由几何体的三视图得:该几何体是三棱锥SABC,其中平面SACABC,SAABBCSCSB2,AC4,如图,SASC,ABBC,该几何体的表面积为:S2(SSAC+SSAB)2()8+4故选:A【点评】本题考查几何体的表面积的求法,考查几何体的三视图等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想,是中档题6(5分)在区间0,1上随机取两个数,则这两个数之和小于的概率是()ABCD【分析】设取出的两个数为x、y,则可得“0x1,0y1”表示的区域为纵横坐标都
10、在0,1之间的正方形区域,易得其面积为1,而x+y1.5表示的区域为直线x+y1.5下方,且在0x1,0y1所表示区域内部的部分,分别计算其面积,由几何概型的计算公式可得答案【解答】解:设取出的两个数为x、y,则有0x1,0y1,其表示的区域为纵横坐标都在0,1之间的正方形区域,易得其面积为1,而x+y1.5表示的区域为直线x+y1.5下方,且在0x1,0y1表示区域内部的部分,易得其面积为1,则两数之和小于1.5的概率是故选:D【点评】本题考查几何概型的计算,解题的关键在于用平面区域表示出题干的代数关系7(5分)设实数alog23,blog,c,则a,b,c的大小关系为()AbacBbcaC
11、abcDacb【分析】利用对数函数、定积分的性质直接求解【解答】解:实数alog23log221,logbloglog1,c,a,b,c的大小关系为abc故选:C【点评】本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、定积分的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题8(5分)已知等比数列an的前n项和为Sn,且S6a7a1,则an的公比q()A1B2C2或3D1或2【分析】由S6a7a1,可得:q1利用求和公式可得:a1(q61),解得:q【解答】解:由S6a7a1,可得:q1a1(q61),解得:q2或1故选:D【点评】本题考查了等比数列的求和公式及其性质、分类讨论方法,考查
12、了推理能力与计算能力,属于中档题9(5分)若函数f(x)x+asin2x在0,)上单调递增,则a的取值范围是()A,0B1,+)C,+)D(,【分析】根据题意,求出函数f(x)的导数,分析可得f(x)1+2acos2x0在0,)上恒成立,进而变形可得2a,结合x的范围分析的最大值,据此分析可得答案【解答】解:根据题意,函数f(x)x+asin2x,其导数f(x)1+2acos2x,若函数f(x)x+asin2x在0,)上单调递增,则f(x)1+2acos2x0在0,)上恒成立,又由x0,),则有0cos2x1,则f(x)1+2acos2x02a,又由0cos2x1,则1,即有最大值1,若f(x
13、)1+2acos2x0在0,)上恒成立,则a,即a的取值范围为,+),故选:C【点评】本题考查利用函数的导数分析函数的单调性,涉及复合函数的导数计算,属于基础题10(5分)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有()A12种B18种C36种D54种【分析】本题是一个分步计数问题,首先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42,余下放入最后一个信封,根据分步计数原理得到结果【解答】解:由题意知,本题是一个分步计数问题,先从3个信封中选一个放1,2,有3种不同的选
14、法;根据分组公式,其他四封信放入两个信封,每个信封两个有6种放法,共有36118故选:B【点评】本题考查分步计数原理,考查平均分组问题,是一个易错题,解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中,这里包含两个步骤,先平均分组,再排列11(5分)已知双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),P是双曲线C右支上一点,且|PF2|F1F2|若直线PF1与圆x2+y2a2相切,则双曲线的离心率为()ABC2D3【分析】先设PF1与圆相切于点M,利用|PF2|F1F2|,及直线PF1与圆x2+y2a2相切,可得几何量之间的关系,从而可求双曲线的离心率的值
15、【解答】解:设PF1与圆相切于点M,因为|PF2|F1F2|,所以PF1F2为等腰三角形,N为PF1的中点,所以|F1M|PF1|,又因为在直角F1MO中,|F1M|2|F1O|2a2c2a2,所以|F1M|b|PF1|又|PF1|PF2|+2a2c+2a,c2a2+b2由可得c2a2()2,即为4(ca)c+a,即3c5a,解得e故选:B【点评】本题考查直线与圆相切,考查双曲线的定义,考查双曲线的几何性质,注意运用平面几何的性质,考查运算能力,属于中档题12(5分)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)1,则不等式f(x)e
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