2.1.1 指数概念的推广 学案（含答案）

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1、21.1指数概念的推广学习目标1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质知识链接14的平方根为2,8的立方根为2.2232232，(22)216，(23)236，4.预习导引1把n(正整数)个实数a的连乘记作an，当a0时有a01，an(nN)2整数指数幂的运算有下列规则：amanamn，amn，(am)namn，(ab)nanbn，()n(b0)3若一个(实)数x的n次方(nN，n2)等于a，即xna，就说x是a的n次方根.3次方根也称为立方根当n是奇数时，数a的n次方根记作.a0时，0；a0时，0；a0时，0.当n是

2、偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数其中正的n次方根叫作算术根，记作.也就是说，当a0时，如xna，那么x.规定：0，负数没有偶次方根4式子叫作根式(nN，n2)，n叫作根指数，a叫作被开方数一般地，有()na.当n为奇数时，a；当n为偶数时，|a|.5当a0，m，nN且n2时，规定a，a.6规定0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂，在a0时，对于任意有理数m，n仍有公式amanamn，amn，(am)namn，(ab)mambm，()m(b0)7对任意的正有理数r和正数a，若a1则ar1；若a1则ar1.根据负指数的意义和倒数的性质可得：对任意的负有理数r和正数a，若a1，则a

3、r1；若a1则ar1.8任意正数a的无理数次幂有确定的意义于是，给了任意正数a，对任意实数x，a的x次幂ax都有了定义可以证明，有理数次幂的前述运算规律，对实数次幂仍然成立类似地，还有不等式：对任意的正实数x和正数a，若a1则ax1；若a1则ax1.对任意的负实数x和正数a，若a1则ax1；若a1则ax1.题型一根式的运算例1求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)，x(3,3)解(1)2.(2).(3)|3|3.(4)原式|x1|x3|，当3x1时，原式1x(x3)2x2.当1x3时，原式x1(x3)4.因此，原式规律方法1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根

4、式，然后运用根式的性质进行化简或求值2开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论跟踪演练1化简下列各式(1)；(2)；(3).解(1)2.(2)|10|10.(3)|ab|题型二根式与分数指数幂的互化例2将下列根式化成分数指数幂形式：(1)；(2)；(3)；(4)()2.解(1)aaa；(2)原式aaaa；(3)原式aaa；(4)原式(a)2abab.规律方法在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a和a，其中字母a要使式子有意义跟踪演练2用分数指数幂表示下列各式：(1)(a0)；(2)(a，b0)；(3)()(b0

5、)；(4)(x0)解(1)原式a(a)(a)(a)(a)(a0)；(2)原式(ab)ab(a，b0)；(3)原式b(b)(b0)；(4)原式x.题型三分数指数幂的运算例3(1)计算：0.0640(2)3160.75|0.01|；(2)化简：(a0)解(1)原式(0.43)1(2)4(24)0.75(0.12)0.4110.1.(2)原式aa()a()aaa01.规律方法指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质跟踪演练3

6、计算或化简：(1)(0.002)10(2)1()0；(2).解(1)原式(1)150010(2)11010201.(2)原式(aa)(a5)(a)13(a0)(aa)(a4)a2.课堂达标1下列各式正确的是()A()3aB()47C()5|a|D.a答案A解析()47，()5a，|a|.2.的值是()A0B2(ab)C0或2(ab) Dab答案C解析当ab0时，原式abab2(ab)；当ab0时，原式baab0.3计算()2的结果是()A.BC.D答案A解析()2()2.4在1，2，21中，最大的数是()A.1B2C.D21答案C解析12,2，21，所以最大528_.答案23解析原式12223.课堂小结1.掌握两个公式：(1)()na；(2)n为奇数，a，n为偶数，|a|2根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质进行运算在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解