2.4.1 方程的根与函数的零点 学案（含答案）

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1、24函数与方程24.1方程的根与函数的零点学习目标1.知道函数零点的定义，会求函数的零点.2.能说出函数零点的存在性定理，会判断函数零点的存在性及存在区间.3.能利用数形结合的方法分析方程根的个数或分布情况.4.会根据一元二次方程根的分布情况求参数范围知识链接考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x22x30与函数yx22x3；(2)方程x22x10与函数yx22x1；(3)方程x22x30与函数yx22x3.你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？答案方程x22x30x22x10x22x30函数yx22x3yx22x1yx22x3函数的图象方程的实数根x11，x

2、23x1x21无实数根函数的图象与x轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点预习导引1函数零点的定义(1)对于函数f(x)，把方程f(x)0的实数根叫作函数yf(x)的零点；(2)求方程f(x)0的实数根，就是确定函数yf(x)的零点；(3)函数yf(x)的零点，也就是函数yf(x)图象与x轴交点的横坐标2函数零点的存在性定理设f(x)的图象是一条连续不断的曲线，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化而且f(a)f(b)0，则方程f(x)0在(a，b)内至少有一个根，即存在x0(a，b)，使f(x0)0.题型一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)

3、x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x).解(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)0，得x6，所以函数的零点为6.规律方法求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点跟踪演练1判断下列说法是否正确：(1)函数f(x)x22x的零点为(

4、0,0)，(0,2)；(2)函数f(x)x1(2x5)的零点为x1.解(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)x22x的零点为0和2，故(1)错(2)虽然f(1)0，但12,5，即1不在函数f(x)x1的定义域内，所以函数在定义域2,5内无零点，故(2)错题型二判断函数零点所在区间例2在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A.B.C.D.答案C解析f20，f()10，ff0，零点在上规律方法1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象2要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图象在a，b上连续，

5、且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点跟踪演练2函数f(x)exx2零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)答案C解析f(0)e00210，f(1)e112e10，f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)内有零点题型三判断函数零点的个数例3判断函数f(x)lnxx23的零点的个数解方法一函数对应的方程为lnxx230，所以原函数零点的个数即为函数ylnx与y3x2的图象交点个数在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)由图象知，函数y3x2与ylnx的图象只有一个交点从而lnxx23

6、0有一个根，即函数ylnxx23有一个零点方法二由于f(1)ln112320，f(2)ln2223ln210，所以f(1)f(2)0，又f(x)lnxx23的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个规律方法判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系下作出y1g(x)和y2h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数跟踪演练3

7、函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3D4答案B解析将函数零点视为两个函数图象的交点横坐标，分别画出函数图象，利用数形结合求解令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.设g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点.课堂达标1函数y4x2的零点是()A2B(2,0)C.D.答案D解析令y4x20，得x.函数y4x2的零点为.2对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则()A方程f(x)0一定有实数解B方程f(x)0一定无实数解C方程f(x

8、)0一定有两实根D方程f(x)0可能无实数解答案D解析函数f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管f(1)f(3)0，但未必函数yf(x)在(1,3)上有实数解3函数ylgx的零点所在的大致区间是()A(6,7) B(7,8)C(8,9) D(9,10)答案D解析因为f(9)lg910，f(10)lg1010，所以f(9)f(10)0，所以ylgx在区间(9,10)上有零点，故选D.4方程2xx20的解的个数是()A1B2C3D4答案C解析在同一坐标系画出函数y2x及yx2的图象，可看出两图象有三个交点，故2xx20的解的个数为3.5函数f(x)x22xa有两个不同零点，则实数a的取值范围是_答案(，1)解析由题意可知，方程x22xa0有两个不同解，故44a0，即a1.课堂小结1.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点2方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础