4.3 向量与实数相乘 学案（含答案）

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1、43向量与实数相乘学习目标1.掌握向量与实数相乘运算及其几何意义，掌握向量与实数相乘运算的运算律，能熟练地进行向量与实数相乘运算.2.掌握平行向量的条件，会根据平行向量的条件判断两个向量是否平行或点共线.3.理解单位向量的概念及意义知识链接1已知非零向量a，作出aaa和(a)(a)(a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？答aaa3a；aaa的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同；(a)(a)(a)3a，(a)(a)(a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反2已知非零向量a，你能说明实数与向量a的乘积a的几何意义吗？答a仍然是一个向量当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相

2、反；当0时，a0，方向任意|a|a|.预习导引1向量与实数相乘运算(1)将向量v乘以一个正数，得到一个向量v，它的方向与v相同，长度|v|是|v|的倍(2)将向量v乘以一个负数，得到一个向量v，它的方向与v相反，长度|v|是|v|的|倍(3)向量v乘以0得到的0v是零向量2平行向量(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量(2)平行向量的条件：两个向量平行其中一个向量是另一个向量的实数倍3零向量的方向零向量的方向是任意的，零向量与所有的向量平行4向量与实数的乘法运算律(1)设a是任意向量，x，y是任意两个实数，则(xy)axaya，x(ya)(xy)a.(2)设a，b

3、是任意两个向量，是任意实数，则(ab)ab.5单位向量长度为1的向量称为单位向量.题型一向量的数乘运算例1化简下列各式：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)；(2)2(2a8b)4(4a2b)解(1)原式6a4b3a15b20b5a14a9b；(2)原式(4a16b16a8b)(12a24b)2a4b.规律方法向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段跟踪演练1若向量a3i4j，b5i4j，则3(2ba)_.答案16ij解析3(2ba)ab3a2b2baab(3i4j)(5i4j)

4、11ij5i4j16ij.题型二用已知向量表示未知向量例2如图所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.解方法一设x，则x，e1x，e1x，又x，由，得xe1xe2，解方程得xe2e1，即e2e1，由，e1x，得e1e2.方法二设x，y，则x，y.由，得2得x2xe12e2，x(2e2e1)，同理得y(2e1e2)，即e2e1，e1e2.方法三如图所示，延长BC与AL交于点E，则DLACLE，从而2，由，得2e2e1，即(2e2e1)e2e1.同理可得(2e1e2)e1e2.规律方法(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则

5、，以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用(2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解跟踪演练2如图，ABC中，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设a，b，用a，b表示向量，.解DEBC，b，ba.由ADEABC，得(ba)又M是ABC底边BC的中点，DEBC，(ba)aa(ba)(ab)ADNABM，(ab)题型三平行向量的应用例3已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值解(1)e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.，共线，且有

6、公共点B，A，B，D三点共线(2)ke1e2与e1ke2共线，存在，使ke1e2(e1ke2)，即(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k1.规律方法(1)本题充分利用了平行向量的条件，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线跟踪演练3如图所示，已知在ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BNBD.求证：M、N、C三点共线证明设a，b，则ab，ab，a，b，ab，aab，又M为公共点M、N、C三点共线课堂达标1化简：(1)8(2abc)6(a2bc)2(2ac)

7、；(2).解(1)原式16a8b8c6a12b6c4a2c(1664)a(812)b(862)c6a4b.(2)原式(a4b)(4a2b)(3a6b)2ba.2如图，.求证：.证明，().3.如图，四边形ABCD的边AD，BC的中点分别为E，F，试问，与平行吗？解因为，两式相加得，2()()，而，是一对相反向量，也是一对相反向量，所以2，即()，故与平行4已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d同向，求实数的值解由于c与d同向，所以ckd(k0)，于是abka(21)b整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，所以1或.又因为k0，所以0，故1.课堂小结1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的2a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍向量表示与向量a同向的单位向量3平行向量是证明三点共线的重要工具即三点共线问题通常转化为向量共线问题