4.5.3 利用坐标计算数量积 学案（含答案）

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1、4.5.3利用坐标计算数量积学习目标1.理解掌握向量数量积的坐标表达式，会利用坐标进行数量积的运算.2.掌握向量的模、夹角等公式，能根据公式解决向量的模、夹角、垂直等有关问题知识链接1已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)ab与ab坐标表示有何区别？答若abx1y2x2y1，即x1y2x2y10.若abx1x2y1y2，即x1x2y1y20.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反2你能用向量法推导两点间距离公式|吗？答(x2x1，y2y1)，2|2(x2x1)2(y2y1)2，即|.预习导引1平面向量数量积的坐标表示若u(x1，y1)，v(x2，y2

2、)，则uvx1x2y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和2两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量u(x1，y1)，v(x2，y2)，则uvx1x2y1y20.3三个重要公式(1)向量模公式：设u(x1，y1)，则|u|.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)向量的夹角公式设两非零向量u(x1，y1)，v(x2，y2)，则cosu，v.题型一向量数量积的坐标运算例1已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(ac)b.解(1)a与b同向，且b(1,2)，ab(，2)(0)又ab10，410，2，a(

3、2,4)(2)ac22(1)40，(ac)b0b0.规律方法(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充跟踪演练1已知向量a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)求：(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c，a(bc)解(1)ab(1,3)(2,5)123517.(2)ab(1,3)(2,5)(3,8)，2ab2(1,3)(2,5)(2,6)(2,5)(0,1)，(ab)(2ab)(3,8)(0,1)30818.(3)(ab)c17c17(2,1)(34,17)，a(bc)a

4、(2,5)(2,1)(1,3)(2251)9(1,3)(9,27)题型二两向量的夹角例2已知(2,1)，(1,7)，(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)(1)求使取得最小值时的；(2)对(1)中求出的点C，求cosACB.解(1)点C是直线OP上的一点，向量与共线，设t(tR)，则t(2,1)(2t，t)，(12t,7t)，(52t,1t)，(12t)(52t)(7t)(1t)5t220t125(t2)28.当t2时，取得最小值，此时(4,2)(2)由(1)知(4,2)，(3,5)，(1，1)，|，|，358.cosACB.规律方法应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个

5、向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角跟踪演练2已知向量ae1e2，b4e13e2，其中e1(1,0)，e2(0,1)(1)试计算ab及|ab|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值解(1)ae1e2(1,0)(0,1)(1，1)，b4e13e24(1,0)3(0,1)(4,3)，ab413(1)1，|ab|.(2)ab|a|b|cos，cos.题型三向量垂直的坐标表示例3已知在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|与点D的坐标解设D点坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)，D在直线BC上，即与共线，

6、6(y2)3(x3)0，即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0.即2xy30.由可得|，即|，点D的坐标为(1,1)规律方法将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法跟踪演练3已知a，ab，ab，若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.解设向量b(x，y)根据题意，得0，|.(ab)(ab)0，|ab|ab|，|a|b|，ab0.又a，即解得或b或b.课堂达标1已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A. B.C.D.答案B解析ab325，|a|，|b|，设夹角为，则cos.又0，.2已

7、知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|等于()A4 B2C8D8答案D解析易得ab2(1)426，所以c(2,4)6(1,2)(8，8)，所以|c|8.3在ABC中，C90，(k,1)，(2,3)，则k的值为_答案5解析(2,3)(k,1)(2k,2)，(2,3)，2(2k)60，k5.4已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.课堂小结1.引入向量坐标后，使向量的数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，利用坐标求模(长度)更为简单若u(x1，y1)，v(x2，y2)，则|u|，uvx1x2y1y2.2用坐标证明直线与直线垂直，可以转化成证两向量的数量积x1x2y1y20.3根据向量的坐标求向量的夹角，直接利用公式cosu，v来求，同时注意角的范围