4.4 向量的分解与坐标表示 学案（含答案）

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1、44向量的分解与坐标表示学习目标1.理解向量的线性组合及其意义，会用基表示向量.2.掌握向量的坐标表示及其坐标运算.3.掌握向量平行的坐标表示及其应用.4.理解并掌握平面向量基本定理知识链接1如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量，a.答通过观察，可得：2e13e2，e14e2，4e14e2，2e15e2，2e15e2，a2e1.20能不能作为基底？答由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基3平面向量的基底唯一吗？答不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基预习导引1线性组合将一组向量的实数倍之和称为这些向量的线性组合比如，xe1ye2就是e1，e2的线性组

2、合2定理3设e1，e2是平面上两个互相垂直的单位向量，则(1)平面上任意一个向量v都可以分解为e1，e2的线性组合：vxe1ye2，其中x，y是两个实数(2)两个向量uae1be2和vxe1ye2相等的充分必要条件是：ax且by.3平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差(3)若a(x，y)，R，则a(x，y)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(4)一个向量的

3、坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标4向量平行的坐标表示(x1，y1)(x2，y2)x1y2y1x20.5定理4(平面向量基本定理)设e1，e2是平面上两个不平行的非零向量，则(1)平面上任意一个向量v可以分解为e1，e2的线性组合：vxe1ye2.(2)向量uae1be2与vxe1ye2相等线性组合式中的对应系数相等：ax且by.题型一向量的坐标运算例1已知a(2,1)，b(3,4)求：(1)3a4b；(2)a3b；(3)ab.解(1)3a4b3(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)(6,19)(2)a3b(2,1)3(3,4)(2,1)(9,12)(11，11)(3)ab(2,1)

4、(3,4).规律方法(1)向量的坐标运算主要是用加、减、数乘运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则跟踪演练1已知A(1,2)，B(3,2)，a(x3，x3y4)，若a，求实数x、y的值解(3,2)(1,2)(2,0)，解得题型二向量坐标的应用例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求点M，N及的坐标解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(1,8)，(6,3)，3(3,24)，2(12,6)设M(x，y)，则有(x3，y4)，M(0,20)同理可求得N(9,2)，因此(9，18)，故所求点M，

5、N的坐标分别为(0,20)，(9,2)，的坐标为(9，18)规律方法向量的坐标表示是给出向量的另一种形式，它只与向量的始点、终点的相对位置有关，三者中给出任意两个，都可以求出第三个跟踪演练2已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若(R)，试求为何值时，点P在第三象限内？解设点P的坐标为(x，y)，则(x2，y3)，(3,1)(5,7)(3,1)(5，7)(35，17)点P在第三象限内，1，当1时，点P在第三象限内题型三向量平行问题例3已知：a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，求x.解方法一u(1,2)2(x,1)(1,2)(2x,2)(2x1,4)，v2(1,2

6、)(x,1)(2,4)(x,1)(2x,3)易知v0，由uv可知，存在R，使uv，即(2x1,4)(2x)，3)，所以所以2x1(2x)所以x.方法二得到u，v同方法一因为uv，显然v0，所以(2x1)34(2x)0.所以x.规律方法uv，可以用存在R，使uv来求解，也可以用向量平行的坐标表示公式跟踪演练3向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线？解(k,12)(4,5)(k4,7)，(k,12)(10，k)(k10,12k)，A、B、C三点共线，即(k4)(12k)7(k10)0，整理得k29k220，解得k2或11，当k2或11时，A、B、C三点共线题型

7、四用基表示向量例4如图所示，设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将、，表示出来解ab，b(ab)ab，()(ab)规律方法(1)用基表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合(2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设cxayb，其中x，yR，然后得到关于x，y的方程组求解跟踪演练4如图，四边形OADB是以向量a，b为边的平行四边形又BMBC，CNCD，试用a、b表示，.解()(ab)，ab.(ab)，ab.题型五平面向量基本定理的应用例5如图，在ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC

8、上，且AN2NC.AM与BN相交于点P，求APPM的值解设e1，e2，则3e2e1，2e1e2.A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得e13e2，2e1e2.故(2)e1(3)e2.而2e13e2，由平面向量基本定理，得解得，APPM41.规律方法(1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线注意方程思想的应用(2)用基表示向量也是用向量解决问题的基础应根据条件灵活应用，熟练掌握跟踪演练5如图，在OAB中，延长BA到C，使ABAC，D是将分成21的一个分点，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)若，求实数的值解(1)A为BC中点，()，2ab.2abb2

9、ab.(2)，a2ab(2)ab.与共线，存在实数m，使得m，即(2)abm，即(2m2)ab0.a，b不共线，解得.课堂达标1已知a(0，9)，b(4,5)，则2ab等于()A(0,13) B(0，13)C(4,13) D(4，13)答案D解析2ab2(0，9)(4,5)(4，185)(4，13)2已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，1)，B(1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为()A(7,0) B(7,6)C(6,7) D(7，6)答案D解析由，(x5，y1)(2，5)x7，y6.3已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_答案解析由题意得2ab(4，2)，因为c(2ab)，c(1，)，所以42，得.4已知G为ABC的重心，设a，b.试用a、b表示向量.解连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，()()ab.课堂小结1.向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决，就可以转化为我们熟知的数量运算2向量共线常常用来解决交点坐标的问题和三点共线的问题以及求参数的值或范围的问题，解决此类问题关键是向量共线的条件