4.6 向量的应用 学案（含答案）

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1、46向量的应用学习目标1.能运用向量的知识解决一些简单的平面几何问题.2.掌握两种基本方法选择基向量法和坐标建系法.3.能用向量知识处理一些简单的物理问题知识链接1向量可以解决哪些常见的几何问题？答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题2用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系3向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？

2、答速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加、减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成，向量有丰富的物理背景向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”；向量在解决涉及上述物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算预习导引1向量方法在几何中的应用(1)证明平行问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0)abx1y2x2y10.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：abab0x1x2y1y20.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosa，b.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的数量积运算、向量模的公式：|a|.2向量方法在物理

3、中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是向量(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加也用到向量的合成(3)动量mv是向量的数乘(4)功是力F与所产生位移s的数量积.题型一平面几何中的垂直问题例1如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.证明方法一设a，b，则|a|b|，ab0，又a，b，所以a2ab|a|2|b|20.故，即AFDE.方法二如图建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，(2,1)，(1，2)因为(2,1)(1，2)220，所以，即AFDE.规律方法对于线段的

4、垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式跟踪演练1如图，点O是ABC的外心，E为三角形内一点，满足，求证：.证明O为外心，|.，()，()()|2|20，即0.故.题型二平面几何中的长度问题例2如图所示，四边形ABCD是正方形，BEAC，ACCE，EC的延长线交BA的延长线于F.求证：AFAE.证明如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(1,1)，B(0,1)若设E(x，y)，则(x，y1)，(1，1)又，x(1)1(y1)0，xy10.又|，x2y220.由得或(舍)即E.又设F(x，1)，由(x

5、，1)和共线得：x0，得x2，F(2，1)，(1，0)，|1|，AFAE.规律方法向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基，向向量的数量积转化，用公式|a|2a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a(x，y)，则|a|.跟踪演练2如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长解设a，b，则ab，ab，而|ab|2，52ab4，ab，又|2|ab|2a22abb2142ab6，|，即AC.题型三向量的线性运算在物理中的应用例3帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东

6、30，速度为20km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向解建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30，速度为|v1|20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|20(km/h)，设帆船行驶的速度为v，则vv1v2.由题意，可得向量v1(20cos60，20sin60)(10,10)，向量v2(20,0)，则帆船的行驶速度vv1v2(10,10)(20,0)(30,10)，所以|v|20(km/h)因为tan(为v和v2的夹角，为锐角)，所以30.所以帆船向北偏东60的方向行驶，速度为20km/h.跟踪演练3某人在静水中游泳，速度为4km

7、/h，水的流速为4 km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？解如图所示，设此人的实际速度为，水流速度为.实际速度游速水速，游速为，在RtAOB中，|4，|4，|4，cosBAO.故此人应沿与河岸夹角余弦值为，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为4km/h.题型四向量的数量积在物理中的应用例4如图，质量m2.0kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F10N的作用下，沿倾斜角30的光滑斜面向上滑行|s|2.0m的距离(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少？(3)求物体所受合外力对物体所做的

8、功，并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系解(1)木块共受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力F1，如题图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为：WFFs|F|s|cos20(J)支持力F1与位移方向垂直，不做功，即W1F1s0.重力G对物体所做的功为：WGGs|G|s|cos(90)19.6(J)(2)物体所受各力对物体做功的代数和为：WWFWNWG20019.60.4(J)(3)物体所受合外力的大小为：|F合|F|G|sin300.2(N)合外力对物体所做的功为：WF合s0.220.4(J)物体所受合外力对物体所做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等规

9、律方法解决力学有关问题，做好正确的受力分析是数学建模的基础要认真体会用向量解决物理问题和解释物理现象的方法跟踪演练4已知两恒力F1(3,4)、F2(6，5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，试求：(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1，F2的合力F为质点所做的功解设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为WFs.(7,0)(20,15)(13，15)(1)W1F1(3,4)(13，15)3(13)4(15)99(J)，W2F2(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3(J)(2)WF(F1F2)(3,4)(6，5)(13，15)(9，1)(13，15

10、)9(13)(1)(15)11715102(J).课堂达标1若M为ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，则ABC为()A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形答案B解析由()(2)0，可知()0，设BC的中点为D，则2，故0，所以.又D为BC中点，故ABC为等腰三角形2如图，在圆O中，若弦AB3，弦AC5，则的值是()A8B1C1D8答案D解析取BC的中点D，连接AD、OD，则有ODBC，()，()()()(22)(5232)8，选D.3正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cosDOE的值解以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知

11、：，故cosDOE.即cosDOE的值为.4在ABC中，ABAC，D为AB的中点，E为ACD的重心，F为ABC的外心，证明：EFCD.证明建立如图所示的平面直角坐标系设A(0，b)，B(a,0)，C(a,0)，则D(，)，(a，)易知ABC的外心F在y轴上，可设为(0，y)由|，得(yb)2(a)2y2，所以y，即F(0，)由重心坐标公式，得E(，)，所以(，)所以(a)()()0，所以，即EFCD.课堂小结1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力