4.1 什么是向量 学案（含答案）

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1、41什么是向量学习目标1.能结合物理学中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解相等向量及向量的模等概念知识链接1力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量，在数学中叫做向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学中常称为标量2已知下列各量：力；功；速度；质量；温度；位移；加速度；重力；路程；密度其中是数量的有，是向量的有.3向量与数量有什么联系和区别？答联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小预习导引1向量与数量(

2、1)向量：既有大小，又有方向的量称为向量(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量2向量的几何表示(1)有向线段规定了方向的线段，叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作|.(2)向量的几何表示法以A为起点，以B为终点的有向线段记作.有向线段表示一个向量，有向线段的方向表示这个向量的方向，有向线段的长度表示这个向量的大小，通常我们就说向量.(3)用字母表示向量通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，表示向量，在手写时用顶上标箭头的小写字母，表示向量也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如，.3向量的大小，也称为这个向量的模，记作|a|.4相等

3、向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.题型一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由(1)若a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意|a|b|，且a与b的方向相同，则ab.解(1)不正确因为向量是不同于数量的一种量它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向(3)正确|a|b|，且a与b同向由两向量相等的条件可得ab.规律方法向量既有大小又有方向，不能比较大小，只有两向量长度与方向均相同时才是相等向量跟踪演练1下列命题：若mn，nk，则m

4、k；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|，其中正确的个数为()A0 B1C2D3答案C解析正确题型二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到D点(1)作出向量，；(2)求|.解(1)如图所示(2)由题意，易知与方向相反又|，在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形|200(公里)规律方法准确画出向量的方法是首先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点跟踪演练2在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点

5、画一个向量b，使ba；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)题型三相等向量的应用例3如图所示，在四边形ABCD中，N，M分别是AD，BC上的点，且.求证：.证明，|且ABCD，四边形ABCD是平行四边形，|，且DACB.又与的方向相同，.，|，且CNMA，四边形CNAM是平行四边形，|，且CMNA.又与的方向相同，.规律方法由本题，我们可以得到一个重要结论，即若，且四点A，B，C，D不共线，则四边形

6、ABCD是平行四边形利用这一结论可解决与平行、相等有关的平面几何问题跟踪演练3如图，在正方形ABCD中，M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解不妨设正方形的边长为2，则以A，B，C，D，M，N为起点和终点的向量中：(1)模为2的相等向量共有8对，.(2)模为1的相等向量有12对，其中与同向的有，这四个向量组成相等的向量有6对，即，同理与反向的也有6对(3)模为的相等向量共有4对，.课堂达标1下列说法正确的是()A数量可以比较大小，向量也可以比较大小B方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C向量的大小与方向有关D向量

7、的模可以比较大小答案D解析A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，A不正确；由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，B不正确；C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，C不正确；D中向量的模是一个数量，可以比较大小，D正确2如图，在ABCD中，与相等的向量是()A.B.C.D.答案D解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以.3如图，在平行四边形ABCD中，向量与是_向量答案相等4某人在天安门广场的正中向北前进100米，再左转90后前进100米，再左转90后前进100米，再左转90后前进100米，请用向量画出它从出发点到达终点的示意图如果他每次不是左转90，而是每次

8、左转60后前进100米，他能回到出发点吗？如果能，则要经过多少次才能回到出发点？每次左转45后前进100米呢？解用长为1cm的向量表示该人前进100米，他四次前进100米的示意图如图1.他每次左转60后前进100米，能回到出发点要经过六次才能回到出发点如图2.他每次左转45后前进100米，也能回到出发点要经过八次才能回到出发点，如图3.课堂小结1.向量是既有大小又有方向的量，向量常用有向线段来表示；两个向量相等，当且仅当它们的模相等方向相同；任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关，向量为解决数学、物理中的很多问题提供了新的工具2向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小如ab没有意义，而|a|b|是有意义的