4.5.2 利用数量积计算长度和角度 学案（含答案）

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1、45.2利用数量积计算长度和角度学习目标1.掌握利用向量的数量积的性质，求长度和角度，判断两向量是否垂直，了解其几何意义.2.会利用向量数量积的有关运算进行计算或证明知识链接1向量数乘的运算律有哪些？答(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.特别地，有()a(a)(a)；(ab)ab.2向量数量积的运算律有哪些？答(1)交换律：abba，对任意向量a，b成立；(2)与数乘的结合律：(ab)(a)ba(b)，对任意向量a，b和实数成立；(3)分配律：(aa)babab，对任意向量a，a，b成立预习导引1向量的数量积的性质(1)如果b是单位向量，则abba|a|cosa，b(2)

2、aa|a|2或|a|(长度公式)(3)cosa，b(夹角余弦公式)(4) ab0ab(垂直条件)(5)|ab|a|b|.(6)(ab)2a22abb2.(7)(ab)2a22abb2.(8)(ab)(ab)a2b2.2两向量垂直条件ab0a，bab.题型一向量模的运算例1已知向量a，b满足|a|13，|b|19，|ab|24，求|ab|.解由已知：|a|13，|b|19，|ab|24，(ab)2242.a22abb2242,2ab24213219246.又(ab)2a22abb213246192484，|ab|22.规律方法利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(

3、1)a2aa|a|2或|a|；(2)|ab|.跟踪演练1向量a与b的夹角为，|a|2，|b|1，求|ab|ab|的值解|ab|2|a|22ab|b|24221cos17.|ab|，同理：|ab|23，|ab|，|ab|ab|.题型二向量夹角的运算例2设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角解|n|m|1且m与n夹角是60，mn|m|n|cos6011.|a|2mn|，|b|2n3m|，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos.又0，180，120，故a与b的夹角为120.规律方法求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来

4、再代入公式求角，注意向量夹角的范围是0，跟踪演练2已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角解由已知得(a3b)(7a5b)0，即7a216ab15b20，(a4b)(7a2b)0，即7a230ab8b20，两式相减得2abb2，abb2.代入中任一式得a2b2.设a，b夹角为，则cos.0180，60.题型三向量垂直的应用例3已知|a|3，|b|4，且a与b不共线，k为何值时，向量akb与akb互相垂直解akb与akb互相垂直的条件是(akb)(akb)0，即a2k2b20.|a|3，|b|4，916k20，k.当k时，akb与akb互相垂直规律方法

5、向量a，b夹角为锐角的等价条件是ab0且a与b不同向共线；ab夹角为钝角的等价条件是ab0，k0，但当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k0且k1.课堂达标1若|a|3，|b|5，且ab与ab垂直，则等于()A. BCD答案B2已知|a|2，|b|1，a与b的夹角为60，那么向量a4b的模为()A2 B2C6D12答案B解析|a4b|2a28ab16b222821cos60161212，|a4b|2.3若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()A30 B60C120D150答案C解析0(2ab)b2abb22|a|b|c

6、osa，b|b|2，|a|b|0，2cosa，b10，cosa，b，a，b120.4已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角解e1，e2为单位向量且夹角为60，e1e211cos60.ab(e1e2)(e22e1)2e1e2121，|a|，|b|，cos.又0，180，120.a与b的夹角为120.课堂小结1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2两个向量垂直等价于它们的数量积等于0.3在实数中，若ab0则a0或b0，但是在数量积中，即使ab0，也不能推出a0或b0，因为其中cos有可能为0.