第5章 三角恒等变换 章末复习学案（含答案）

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1、章末复习课网络构建核心归纳1本章的公式多不易记住，解决这个问题的最好办法就是掌握每个公式的推导过程：首先用向量方法推导出C()，再用代替C()中的得到C()；接着用诱导公式sin()coscos得到S()与S()；将S()除以C()得到T()，将S()除以C()得到T()；将S()、C()、T()中的换为，得到S2、C2、T2.2熟练掌握常用的角的变换，是提高解题速度、提高分析问题和解决问题的能力的有效途径常用的角的变换有：2、422、2()()()()、2()()()()、()()、.这些变换技巧需要同学们在平时解题的过程中多多摸索，而探索的方法就是认真观察已知条件中的角与待求式中的角之间的

2、关系3时刻注意考虑角的范围是避免解题出错的唯一方法，首先是本章的某些公式中的角就有范围限制，如tan2中的的限制条件是k且(kZ)；其次是题中的角的范围也是有限制的.要点一三角函数式的化简三角函数式的化简，主要有以下几类：对和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；对分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数值；对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段例1化简：sin2sin2cos2cos2cos2cos2.解方法一原

3、式sin2sin2cos2cos2(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos2(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos2sin2sin2cos2(1cos2)cos2sin2sin2cos2sin2cos2sin2(sin2cos2)cos2sin2cos21.方法二原式sin2sin2(1sin2)cos2cos2cos2cos2sin2(cos2sin2)cos2cos2cos2sin2cos2cos2cos2cos2cos2cos2cos2.方法三原式cos2cos2(1cos2cos2cos2cos2)(1cos2c

4、os2cos2cos2)cos2cos2.方法四原式(sinsincoscos)22sinsincoscoscos2cos2cos2()sin2sin2cos2cos2cos2()cos(22)cos2()2cos2()1.跟踪演练1设，化简：.解，cos0，cos0.故原式cos.要点二三角函数求值三角函数求值主要有三种类型，即(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角要注意角的范围(

5、3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围例2求tan25tan35tan25tan35的值解tan25tan35tan25tan35tan(2535)(1tan25tan35)tan25tan35tan60(1tan25tan35)tan25tan35tan25tan35tan25tan35.跟踪演练2已知sinsin，求的值解sinsin，sincos，sin，即cos2.又，2(，2)，sin2.要点三三角恒等式的证明三角恒等式的证明主要是利用sin2cos21，tan，二倍角公式等结论证明等式成

6、立一般思路是从左向右或两头凑，注意函数名的统一，一般是切化弦例3求证：tan2x.证明方法一左边右边原式得证方法二右边tan2x左边原式得证跟踪演练3求证：tan.证明左边tan.要点四三角函数与向量的综合问题三角函数与向量的综合问题是近几年高考题的热点，目的在于考查学生对三角函数基本关系式的变形、运算和推理能力，一般来说题目难度不大，解决这类问题，应利用平面向量的坐标、数量积、平行与垂直的条件、夹角公式等知识将向量转化为三角函数问题例4已知a(cos，sin)，b(cos，sin)(0)(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb长度相等(其中k为非零实数)，求的值(1)证明方法一

7、a(cos，sin)，b(cos，sin)，ab(coscos，sinsin)，ab(coscos，sinsin)，(ab)(ab)(coscos)(coscos)(sinsin)(sinsin)cos2cos2sin2sin20.(ab)(ab)方法二a(cos，sin)，b(cos，sin)，|a|2cos2sin21，|b|2cos2sin21.|a|2|b|2.(ab)(ab)a2b2|a|2|b|20，(ab)(ab)(2)解kab(kcos，ksin)(cos，sin)(kcoscos，ksinsin)，akb(coskcos，sinksin)，|kab|2(kcoscos)2(k

8、sinsin)2k2cos22kcoscoscos2k2sin22ksinsinsin2k22kcos()1.同理可求|akb|2k22kcos()1.又|kab|akb|，|kab|2|akb|2.2kcos()2kcos()k0，cos()0.cos()0.又0，.跟踪演练4设函数f(x)ab，其中向量a(2cosx,1)，b(cosx，sin2x)若f(x)1，且x，求x.解由题设f(x)2cos2xsin2x1cos2xsin2x2sin1.若f(x)1，则2sin，即sin.x，2x.从而2x，解得x.要点五三角函数与三角变换的综合问题利用三角公式和基本的三角恒等变换的思想方法，可以

9、化简三角函数的解析式，进而才能顺利地探求三角函数的有关性质反过来，利用三角函数性质，可确定解析式，进而可求出有关三角函数值因而三角恒等变换与三角函数的综合问题是高考命题的热点解决三角恒等变换与三角函数的综合问题关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切割化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化，角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用例5已知函数f(x)2sincos2sin2.(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)

10、令g(x)f，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由解(1)f(x)sinsincos2sin.f(x)的最小正周期T4.当sin1时，f(x)取得最小值2；当sin1时，f(x)取得最大值2.(2)由(1)知f(x)2sin，又g(x)f，g(x)2sin2sin2cos.g(x)2cos2cosg(x)，函数g(x)是偶函数跟踪演练5已知函数f(x)cos2sincos.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f()，求sin2的值解(1)f(x)cos2sincos(1cosx)sinxcos.所以f(x)的最小正周期为2，值域为.(2)由(1)知f()cos，所以cos.所以sin2coscos12cos21.课堂小结本章所学的内容是重要的三角恒等变换，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质