5.3 简单的三角恒等变换 学案（含答案）

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1、53简单的三角恒等变换学习目标1.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用知识链接1代数式变换与三角变换有什么不同？答代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点2倍角公式(1)

2、S2：sin22sin_cos_.(2)C2：cos2cos2sin22cos2112sin2.(3)T2：tan2.预习导引1(1)sincossin()sin()(2)cossinsin()sin()(3)coscoscos()cos()(4)sinsincos()cos()(5)sinsin2sincos.(6)sinsin2cossin.(7)coscos2coscos.(8)coscos2sinsin.2辅助角公式使asinxbcosxsin(x)cos(x)成立时，cos，sin，sin，cos，其中、称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定.题型一利用积化和差与和差化积公式

3、化简求值例1求值：sin20cos70sin10sin50.解sin20cos70sin10sin50 (sin90sin50) (cos60cos40)sin50cos40sin50sin50.规律方法套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来跟踪演练1求值：cos10cos30cos50cos70.解原式(cos60cos40) cos70cos70cos40cos70cos70(cos110cos30)cos70cos110cos30.题型

4、二三角函数的化简例2化简：(0)解原式.0，00，原式cos.规律方法(1)式子中含有1cos，1cos等形式时，常需要用半角公式升幂(2)在开方时要注意讨论角的范围跟踪演练2化简：.解由tan则原式1.题型三三角恒等式的证明例3求证：tantan.证明方法一tantan.原式成立方法二tantan.原式成立规律方法在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法跟踪演练3求证：1.证明方法一左边11右边原等式成立方法二右边1左边原式成立题型四公式asinbcossin()的应用例4设函数f(

5、x)(sinxcosx)22cos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)若函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象向右平移个单位长度得到，求yg(x)的单调递增区间解(1)f(x)(sinxcosx)22cos2xsin2xcos2xsin2x1cos2xsin2xcos2x2sin2.依题意得，故的值为.(2)依题意得g(x)sin2sin2.由2k3x2k(kZ)，解得x(kZ)故yg(x)的单调递增区间为(kZ)规律方法(1)为使辅助角公式形式最简，可通过提取公因式或使辅助角是一锐角的形式，辅助角公式是化特殊为一般的化归思想的具体运用它把yasinxbcosx的函数式转化为yAs

6、in(x)的形式，以进一步研究函数的性质(2)一般地，函数yasinxbcosx，xR的最大值是，最小值是；周期是T；可把化简后的解析式ysin(x)的“x”(0)视为一个整体，结合初等三角函数的性质求单调区间跟踪演练4某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)解连接OC，设COB，则045，OC1.ABOBOAcosADcossin，S矩形ABCDABBC(cossin)sinsin2sincos(1cos2)sin2(sin2cos2)cos(245).当2450，即22.5时，Smax(m2)割出

7、的长方形桌面的最大面积为m2.课堂达标1若f(x)cos xsin x在0，a是减函数，则a的最大值是()A. B. C. D答案C解析f(x)cos xsin xcos.当x0，a时，x，所以结合题意可知，a，即a，故所求a的最大值是.故选C.2函数f(x)2sinsin的最大值等于()A.B.C1D2答案A解析f(x)2sinsinxsin2sinxsinxcosxsin.f(x)max.3sin105sin15_.答案解析sin105sin152sincos2sin60cos45.4试用一个角的正弦(或余弦)形式表示下列各式：(1)sincos；(2)sincos；(3)cos15sin

8、15；(4)3sin4cos.解(1)sincos(sincos)(sincoscossin)sin()(2)sincos2(sincos)2(sincoscossin)2sin()(3)方法一原式sin30cos15cos30sin15sin(3015)sin45.方法二原式cos60cos15sin60sin15cos(6015)cos45.(4)3sin4cos5(sincos)5sin()(或5cos()其中cos，sin(或sin，cos).课堂小结1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式2辅助角公式asinxbcosxsin(x)cos(x)，其中sin，cos，sin，cos.3和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系