2020年北师大版八年级上册数学《第1章勾股定理》单元测试卷(解析版)
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1、2020年北师大版八年级上册数学第1章 勾股定理单元测试卷一选择题(共10小题)1若直角三角形两条直角边长分别为2,3,则该直角三角形斜边上的高为()ABCD2如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以A为圆心,AB为半径画弧,交最上方的网格线于点D,则CD的长为()AB0.8C3D3如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若最大正方形G的边长是6cm,则正方形A,B,C,D,E,F,G的面积之和是()A18cm2 B36cm2C72cm2D108cm24“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形如图,每一个直
2、角三角形的两条直角边的长分别是3和6,则中间小正方形与大正方形的面积差是()A9B36C27D345图1是我国著名的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边(如AF)向外延长1倍得到点A,B,C,D,并连结得到图2已知正方形EFGH与正方形ABCD的面积分别为1cm2和85cm2,则图2中阴影部分的面积是()A15cm2B30cm2C36cm2D60cm26在数学活动课上,老师要求学生在44的正方形ABCD网格中(小正方形的边长为1)画直角三角形,要求三个顶点都在格点上,而且三边与AB或AD都不平行,则画出的形状不同的直角三角形有()种A3B4C5D67在ABC中
3、,ABBC2,O是线段AB的中点,P是射线CO上的一个动点,AOC60,则当PAB为直角三角形时,AP的长为()A1,7B1,C1,D1,3,8如果正整数a、b、c满足等式a2+b2c2,那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表,观察表中每列数的规律,可知x+y的值为()A47B62C79D989如图,为了测量某条河的宽度,现在河边的一岸边任意取一点A,又在河的另一岸边取两点B、C,测得30,45,量得BC长为80米如果设河的宽度为x米,那么下列关系式中正确的是()AB1CD10如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着
4、长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖,需要爬行的最短距离是()cmA25B20C24D10二填空题(共8小题)11直角三角形的斜边长是5,一直角边长是3,则此直角三角形另一直角边是 12如图是一株美丽的勾股树,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5,则最大正方形E的面积是 13已知三角形三边长分别为5,12,13,则此三角形的最大边上的高等于 14一种盛饮料的圆柱形杯,测得内部底面半径为2.5cm,高为12cm,吸管放进杯里(如图所示),杯口外面至少要露出3.6cm,为节省材料,管长acm的取值范围是 15如图所示,一个梯子AB长
5、2.5米,顶端A靠墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为1.3米,则梯子顶端A下滑了 米16有一棵9米高的大树,树下有一个1米高的小孩,如果大树在距地面4米处折断(未完全折断),则小孩至少离开大树 米之外才是安全的17如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3)是 18在一个长为2米,宽为1米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的木块,它的棱长和场地宽AD平行且大于AD,木块的正视图是边长为0.2米的正方形,一只蚂蚁从点A处,到达C处需要走的最短路程是 米(精确到0.01米)三解答题(共8小题)19
6、如图,ABC中,ACB90,AB5cm,BC4cm,若点P从点A出发,以每秒1cm的速度沿折线ABCA运动,设运动时间为t(t0)秒(1)AC cm;(2)若点P恰好在AB的垂直平分线上,求此时t的值;(3)在运动过程中,当t为何值时,ACP是以AC为腰的等腰三角形(直接写出结果)?20如图,在四边形ABCD中,ABAD,A90,CBD30,C45,如果AB,求CD的长21在RtABC中,C90,以三边为边分别向外作正方形,如图所示,过C作CHAB于H,延长CH交MN于点I(1)如图(1)若AC3,BC2,试通过计算证明:四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积(2)请利用图(2)证明直角
7、三角形勾股定理:AC2+BC2AB222如图,点C在线段BD上,ACBD,CACD,点E在线段AC上,且CECB,若已知BCa,ACb,ABc,请借助这个图形证明勾股定理23如图所示,在ABC中,CDAB于D,AC4,BC3,CD(1)求AD的长;(2)求证:ABC是直角三角形24如图,已知在四边形ABCD中,A90,AB2cm,ADcm,CD5cm,BC4cm,求四边形ABCD的面积25勾股定理是一个基本的几何定理,早在我国西汉吋期算书周髀算经就有“勾三股四弦五”的记载如果一个直角三角形三边长都是正整数,这样的直角三角形叫“整数直角三角形”;这三个整数叫做一组“勾股数”,如:3,4,5;5,
8、12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41等等都是勾股数(1)小李在研究勾股数时发现,某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和,有一条直角边能写成这两个整数的平方差如3,4,5中,522+12,32212;5,12,13中,1332+22,53222;请证明:m,n为正整数,且mn,若有一个直角三角形斜边长为m2+n2,有一条直角长为m2n2,则该直角三角形一定为“整数直角三角形”;(2)有一个直角三角形两直角边长分别为和,斜边长4,且a和b均为正整数,用含b的代数式表示a,并求出a和b的值;(3)若c1a12+b12,c2a22+b22,其中,a1、a2、b1、b2均为
9、正整数证明:存在一个整数直角三角形,其斜边长为c1c226一个零件的形状如图所示,工人师傅按规定做得B90,AB3,BC4,CD12,AD13,假如这是一块钢板,你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?2020年北师大版八年级上册数学第1章 勾股定理单元测试卷参考答案与试题解析一选择题(共10小题)1若直角三角形两条直角边长分别为2,3,则该直角三角形斜边上的高为()ABCD【分析】已知两直角边长度,根据勾股定理即可求得斜边长,三角形面积计算既可以用直角边计算,又可以用斜边和斜边上的高计算,根据这个等量关系即可求斜边上的高【解答】解:设该直角三角形斜边上的高为h,直角三角形的两条直角边长分别为
10、2和3,斜边,23h,h,故选:C【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用,根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键2如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以A为圆心,AB为半径画弧,交最上方的网格线于点D,则CD的长为()AB0.8C3D【分析】连接AD,由勾股定理求出DE,即可得出CD的长【解答】解:如图,连接AD,则ADAB3,由勾股定理可得,RtADE中,DE,又CE3,CD3,故选:C【点评】本题考查了勾股定理的运用,由勾股定理求出DE是解决问题的关键3如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若最大正方形G的边长
11、是6cm,则正方形A,B,C,D,E,F,G的面积之和是()A18cm2 B36cm2C72cm2D108cm2【分析】根据正方形的面积公式,运用勾股定理可以证明:正方形A,B,C,D的面积之和等于正方形E,F的面积之和,正方形E,F的面积之和等于最大正方形G的面积【解答】解:由图可得,A与B的面积的和是E的面积;C与D的面积的和是F的面积;而E,F的面积的和是G的面积即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积G的面积是6236cm2,A、B、C、D、E、F、G的面积之和为363108cm2故选:D【点评】本题主要考查了勾股定理,注意在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定
12、等于斜边长的平方4“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形如图,每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6,则中间小正方形与大正方形的面积差是()A9B36C27D34【分析】由正方形的性质和勾股定理求出小正方形和大正方形的面积,即可得出小正方形与大正方形的面积差【解答】解:根据题意得:小正方形的面积(63)29,大正方形的面积32+6245,45936故选:B【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理;熟练掌握正方形的性质和勾股定理,求出两个正方形的面积是解决问题的关键5图1是我国著名的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边(如AF)向
13、外延长1倍得到点A,B,C,D,并连结得到图2已知正方形EFGH与正方形ABCD的面积分别为1cm2和85cm2,则图2中阴影部分的面积是()A15cm2B30cm2C36cm2D60cm2【分析】由正方形EFGH与正方形ABCD的面积分别为1cm2和85cm2,可得大小正方形的边长,设四个直角三角形的较短边为x,则在RtAED中,由勾股定理可求出x,从而可求出相关三角形的边长,即可求出阴影部分的面积【解答】解:正方形EFGH与正方形ABCD的面积分别为1cm2和85cm2EFFGGHHF1,ABBCCDAD设四个直角三角形的较短边为x,则在RtAED中,DE2x,AE2x+1,由题意得(2x
14、)2+(2x+1)285,化简得2x2+x210x13,x23.5(舍)AFCH6,AECG4图2中阴影部分的面积是(362+342)230故选:B【点评】本题考查的是勾股定理在弦图中的应用,明确图中相关线段的长度关系,根据勾股定理列出方程是求解本题的关键6在数学活动课上,老师要求学生在44的正方形ABCD网格中(小正方形的边长为1)画直角三角形,要求三个顶点都在格点上,而且三边与AB或AD都不平行,则画出的形状不同的直角三角形有()种A3B4C5D6【分析】根据三个顶点都在格点上,而且三边与AB或AD都不平行,画出的形状不同的直角三角形即可【解答】解:如图所示:形状不同的直角三角形共有3种情
15、况:直角边之比为1:1,或1:2,或1:3故选:A【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及勾股定理的运用,解题时注意:要判断一个角是不是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是7在ABC中,ABBC2,O是线段AB的中点,P是射线CO上的一个动点,AOC60,则当PAB为直角三角形时,AP的长为()A1,7B1,C1,D1,3,【分析】当ABP90时,由对顶角的性质可得AOCBOP60,易得BPO30,易得BP的长,利用勾股定理可得AP的长;当APB90时,分两种情况讨论:利用直角三角形斜边的中线等于斜
16、边的一半得出POBO,易得BOP为等边三角形,利用锐角三角函数可得AP的长;易得BP,利用勾股定理可得AP的长;利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论【解答】解:如图1,当APB90时,AOBO,POBO,AOC60,BOP60,BOP为等边三角形,ABBC2,APABsin602;如图2,当ABP90时,AOCBOP60,BPO30,BP,在直角三角形ABP中,AP;如图3,AOBO,APB90,POAO,AOC60,AOP为等边三角形,APAO1,故选:C【点评】本题主要考查了勾股定理,含30直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线,运用分类讨论,数形结合思想是解答此题的关键8如果正
17、整数a、b、c满足等式a2+b2c2,那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表,观察表中每列数的规律,可知x+y的值为()A47B62C79D98【分析】依据每列数的规律,即可得到an21,b2n,cn2+1,进而得出x+y的值【解答】解:由题可得,3221,422,522+1,an21,b2n,cn2+1,当cn2+165时,n8,x63,y16,x+y79,故选:C【点评】本题主要考查了勾股数,满足a2+b2c2 的三个正整数,称为勾股数9如图,为了测量某条河的宽度,现在河边的一岸边任意取一点A,又在河的另一岸边取两点B、C,测得30,45,量得BC长为80米如果设
18、河的宽度为x米,那么下列关系式中正确的是()AB1CD【分析】过点A作ADBC于点D,直接利用已知条件得出ADCD,再利用tan30,进而得出关系式【解答】解:如图,过点A作ADBC于点D,45,ADCDx,RtABD中,tan,tan30故选:D【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确掌握锐角三角函数关系是解题关键10如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖,需要爬行的最短距离是()cmA25B20C24D10【分析】分三种情况讨论:把左侧面展开到水平面上,连结AB,如图1;把右侧面展开到正面上,
19、连结AB,如图2;把向上的面展开到正面上,连结AB,如图3,然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB,再进行大小比较【解答】解:把左侧面展开到水平面上,连结AB,如图1,AB5(cm)把右侧面展开到正面上,连结AB,如图2,AB25(cm);把向上的面展开到正面上,连结AB,如图3,AB5(cm)25所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离为25cm故选:A【点评】本题考查了平面展开最短路径问题:先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间的最短路径一般情况是两点之间,线段最短在平面图形上构造直角三角形解决问题二填空题(共8小题)11直角三角形的斜边长是5,一
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