2020年温州重点中学自主招生模拟测试数学试卷及参考答案

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1、数学试卷一.选择题： 1. 方程x 的根是x( ) A.4- B.4+ C.-4 D.2. 将自然数122分别填在下面的“”内（每个“”只能填一个数）, 在形成的11个分数中, 分数值为整数的最多能有( )个A.6 B.8 C.10 D.123. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为( )A. B.（2，1） C.(2, ) D.( ,)4. 已知正整数满足：，则的最小可能值是( )A.78 B.92 C.86 D.985. 一个梯子有10级台阶，规定每步可以迈一

2、级台阶或两级台阶，最多可迈3级台阶，从地面上到最上面一级台阶，一共有（ ）钟迈法？A.44 B.81 C.149 D.2746.将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个数填入图中10个格子中，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于P，则P的最大值为（ ）A.20 B.24 C.28 D.32 7. 方程的实数解的个数为( )A.1 B.2 C.2005 D.368. 将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a2b+100成立的事件发生的概率等于（ ）A.

3、B. C. D. 9. 方程组的有理数解的个数为 （ ）A. 1 B. 2 C.3 D. 410. . 的值是( ).A.; B.; C.; D.二.填空题： 11. 将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有_种（用数字作答）。12. 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 13. 方程的非负整数解 14. 如图，设P为 ABC外一点，P在边AC之外，在B之内SPBC：S PCA：S PAB4：2：3又知 ABC三边a，b，c上的高为ha3，hb5，hc6，则P到三边的距离之和为 15. 如图，正六

4、边形的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 16. 方程 的解是x 三解答题：17.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为求的表达式，并写出x的取值范围18.如图，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于求证：；在弧AB（不含点）上任取一点（，），记，的内心分别为，求证：，四点共圆 温州重点中学自主招生模拟题数学答案 一试一.选择题： 题号12345678910答案BCABDCADBC二.填空题：11._3960_; 12._2009_; 13._(3,0)(2,2

5、)_;14._8_; 15._ _; 16._6.5_;三.解答题： 17.解：将代入， 若有解， 当满足， 当满足18.解：(1)当x = c时，y = 0，即，又c1，所以设一元二次方程两个实根为 由，及x = c1，得 又因为当0xc时，所以，于是二次函数的对称轴： 即所以 即(2)因为0x=1c时，所以由及得：因为而，所以当x0时，即19.解：令p=x+z、q=xz，我们有p2=x2+z2+2q，p3=x3+z3+3pq，p4=x4+z4+4p2q2q2。同样，令s=y+w、t=yw，有s2=y2+w2+2t，s3=y3+w3+3st，s4=y4+w4+4s2t2t2。在此记号系统下，

6、原方程组的第一个方程为p=s+2。（3.1）于是p2=s2+4s+4，p3=s3+6s2+12s+8，p4=s4+8s3+24s2+32s+16。现在将上面准备的p2、p3、p4和s2、s3、s4的表达式代入，得x2+z2+2q=y2+w2+2t+4s+4，x3+z3+3pq=y3+w3+3st+6s2+12s+8，x4+z4+4p2q2q2=y4+w4+4s2t2t2+8s3+24s2+32s+16。利用原方程组的第二至四式化简，得q=t+2s1，（3.2）pq=st+2s2+4s4，（3.3）2p2qq2=2s2tt2+4s3+12s2+16s25。（3.4）将（3.1）和（3.2）代入（

7、3.3），得，（3.5）将（3.5）代入（3.2），得，（3.6）将（3.1）（3.5）（3.6）代入（3.4），得s=2。所以有t=0，p=4，q=3。这样一来，x、z和y、w分别是方程和的两根，即或，且或。详言之，方程组有如下四组解：x=3，y=2，z=1，w=0；或x=3，y=0，z=1，w=2；或x=1，y=2，z=3，w=0；或x=1，y=0，z=3，w=2。 二试一.解：由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 在OBC中，由余弦定理，所以 ， 由，得 所以：，故：， 所以 ： 由可得，故因为，结合，可得：，解得（结合） 综上所述， 二.解：连，由于，共圆，故是等腰梯形因此，连，则与交于，因为，所以同理于是，故四边形为平行四边形因此（同底，等高）又，四点共圆，故，由三角形面积公式 于是因为，所以，同理由得由所证，故又因，有故，从而因此，四点共圆