2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（）A12B9C8D62（5分）设命题p：函数y在定义域上为减函数；命题q：a，b（0，+），当a+b1时，+3，以下说法正确的是（）Apq为真Bpq为真Cp真q假Dp，q均假3（5分）给出下列三个命题若“p或q”为假命题，则p，q均为真命题；命题“若x2且y3，则x+y5”

2、的逆否命题为假命题；在ABC中，“A45”是“sinA”的充要条件，其中正确的命题个数是（）A3B2C1D04（5分）设集合A1，2，B1，2，3，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+yn上”为事件n（2n5，nN），若事件n的概率最大，则n的所有可能值为（）A3B4C2和5D3和45（5分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90  89  90  95  93  94  93  去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A9

3、2，2.8B92，2C93，2D93，2.86（5分）如图，已知直线l：yk（x+1）（k0）与抛物线C：y24x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|2|BN|，则k的值是（）ABCD27（5分）下列说法正确的是（）AaR，“1”是“a1”的必要不充分条件B“pq为真命题”是“pq为真命题”的必要不充分条件C命题“xR使得x2+2x+30”的否定是：“xR，x2+2x+30”D命题p：“xR，sinx+cosx”，则p是真命题8（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图考虑

4、以下结论：甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（）ABCD9（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A8万元B10万元C12万元D15万10（5分）设P为椭圆+1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|2：

5、1则PF1F2的面积为（）A2B3C4D511（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的右焦点为F（c，0），直线xa与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原若OAF的面积为a2，则双曲线C的离心率为（）ABCD12（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2则（）A4B2C2D3二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是   14（5分）已知函数f（x）x4lnx，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处

6、的切线方程为   15（5分）设椭圆1（0b5）的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b值为   16（5分）函数f（x）2x2lnx的单调减区间是   三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17（10分）（1）若抛物线的焦点是椭圆+1左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）某双曲线与椭圆+1共焦点，且以y为渐近线，求此双曲线的标准方程18（12分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛（）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（）将抽取的6名运动员进

7、行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率19（12分）已知关于x的一次函数ymx+n（1）设集合P2，1，1，2，3和Q2，3，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数ymx+n是增函数的概率；（2）实数m，n满足条件求函数ymx+n的图象经过一、二、三象限的概率20（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykx+a（a0）交于M，N两点（）当k0时，分別求C在点M和N处的切线方程（）y轴上是否存

8、在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？（说明理由）21（12分）已知函数f（x）ax3x2（a0），x0，+）（1）若a1，求函数f（x）在0，1上的最值；（2）若函数yf'（x）的递减区间为A，试探究函数yf（x）在区间A上的单调性22（12分）已知函数f（x）ax2+bxlnx（a，bR）（1）当a1，b3时，求函数f（x）在，2上的最大值和最小值；（2）当a0时，是否存在正实数b，当x（0，e（e是自然对数底数）时，函数f（x）的最小值是3，若存在，求出b的值；若不存在，说明理由2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大

9、题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（）A12B9C8D6【分析】设阴影部分的面积为S，根据题意，可得向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P；，又由几何概型可得P，可得，解可得答案【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为36，向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P；而P，则，解可得，S9；

10、故选：B【点评】本题考查用模拟方法估计概率的大小，涉及几何概型的应用，模拟方法求面积一般针对不规则的图形2（5分）设命题p：函数y在定义域上为减函数；命题q：a，b（0，+），当a+b1时，+3，以下说法正确的是（）Apq为真Bpq为真Cp真q假Dp，q均假【分析】根据反比例函数的单调性知，它在定义域上没有单调性，所以命题p是假命题；根据a+b1得b1a，带入，看能否解出a，经计算解不出a，所以命题q是假命题，即p，q均假，所以D是正确的【解答】解：函数y在（，0），（0，+）上是减函数，在定义域x|x0上不具有单调性，命题p是假命题；由a+b1得b1a，带入并整理得：3a23a+10，912

11、0，该方程无解，即不存在a，b（0，+），当a+b1时，命题q是假命题；p，q均价，pq为假，pq为假；故选：D【点评】考查反比例函数的单调性，定义域，一元二次方程的解和判别式的关系3（5分）给出下列三个命题若“p或q”为假命题，则p，q均为真命题；命题“若x2且y3，则x+y5”的逆否命题为假命题；在ABC中，“A45”是“sinA”的充要条件，其中正确的命题个数是（）A3B2C1D0【分析】根据复合命题真假关系进行判断；根据逆否命题的等价性判断原命题的真假即可；根据三角形的边角关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若“p或q”为假命题，则p，q都是假命题，则p，q均为真命题；

12、故正确，命题“若x2且y3，则x+y5”为真命题，根据逆否命题的真假性相同得命题的逆否命题为真命题，故错误；在ABC中，若A150满足A45，但sinA，则sinA不成立，即充分性不成立，故错误，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，充分条件和必要条件的判断，以及四种命题之间的关系，比较基础4（5分）设集合A1，2，B1，2，3，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+yn上”为事件n（2n5，nN），若事件n的概率最大，则n的所有可能值为（）A3B4C2和5D3和4【分析】分别从集合A和B中随机取一个数

13、a和b，组成一个有序数对，共有23中方法，要计算事件n的概率最大时n的所有可能值，要把题目中所有的情况进行分析求解，比较出n的所有可能值【解答】解：事件n的总事件数为6只要求出当n2，3，4，5时的基本事件个数即可当n2时，落在直线x+y2上的点为（1，1）；当n3时，落在直线x+y3上的点为（1，2）、（2，1）；当n4时，落在直线x+y4上的点为（1，3）、（2，2）；当n5时，落在直线x+y5上的点为（2，3）；显然当n3，4时，事件n的概率最大为，故选：D【点评】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题

14、为载体，主要考查的是另一个知识点5（5分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90  89  90  95  93  94  93  去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A92，2.8B92，2C93，2D93，2.8【分析】先由题意列出所剩数据，由平均数和方差公式依次求出均数、方差即可【解答】解：由题意所剩数据：90 90  93  94  93，所以平均数92，方差S（9092）2+（9092）2+（9392）2+（9492）2+（9392）22.8，

15、故选：A【点评】本题考查平均数和方差公式，属于基础题6（5分）如图，已知直线l：yk（x+1）（k0）与抛物线C：y24x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|2|BN|，则k的值是（）ABCD2【分析】直线yk（x+1）（k0）恒过定点P（1，0），由此推导出|OB|AF|，由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值【解答】解：设抛物线C：y24x的准线为l：x1直线yk（x+1）（k0）恒过定点P（1，0）如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|AM|2|BN|，则|FA|2|FB|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|AF|，|OB|BF|，点B

16、的横坐标为，点B的坐标为B（，），把B（，）代入直线l：yk（x+1）（k0），解得k故选：C【点评】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用7（5分）下列说法正确的是（）AaR，“1”是“a1”的必要不充分条件B“pq为真命题”是“pq为真命题”的必要不充分条件C命题“xR使得x2+2x+30”的否定是：“xR，x2+2x+30”D命题p：“xR，sinx+cosx”，则p是真命题【分析】A根据不等式的关系进行判断即可B根据充分条件和必要条件的定义进行判断C根据特称命题的否定是全称命题进行判断D根据三角函数的性质进行判断【解答】解：A

17、由1得a1或a0，则“1”是“a1”的必要不充分条件，正确，B若pq为真命题，则p，q都是真命题，此时pq为真命题，即充分性成立，反之当p假q真时，pq为真命题，但pq为假命题，故“pq为真命题”是“pq为真命题”的充分不必要条件，故B错误，C命题“xR使得x2+2x+30”的否定是：“xR，x2+2x+30”，故C错误，Dsinx+cosxsin（x+）恒成立，p是真命题，则p是假命题，故D错误，故选：A【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，含有量词的命题的否定，比较基础8（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单

18、位：）制成如图所示的茎叶图考虑以下结论：甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（）ABCD【分析】利用茎叶图分别求出甲、乙两地某月14时的气温的平均值和标准差，由此能求出结果【解答】解：由茎叶图，得：甲地该月14时的平均气温（26+28+29+31+31）29，甲地该月14时的平均气温的标准差S甲，乙地该月14时的平均气温（28+29+30+31+32）30，

19、乙地该月14时的平均气温的标准差S乙，甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差根据茎叶图能得到的统计结论的标号为故选：A【点评】本题考查平均值、标准差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图、平均值、标准差的合理运用9（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A8万元B10万元C12万元D15万【分析】由频率分布直方图得0.40.14，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额

20、的4倍【解答】解：由频率分布直方图得0.40.1411时至12时的销售额为3412故选：C【点评】本题考查频率分布直方图，关键是注意纵坐标表示频率比组距，属于基础题10（5分）设P为椭圆+1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|2：1则PF1F2的面积为（）A2B3C4D5【分析】先由椭圆的方程求出|F1F2|2，再由|PF1|2|PF2|，求出|PF1|4，|PF2|2，由此能够推导出PF1F2是直角三角形，其面积【解答】解：|PF1|：|PF2|2：1，可设|PF1|2k，|PF2|k，由题意可知2k+k6，k2，|PF1|4，|PF2|2，|F1F2|2，PF1

21、F2是直角三角形，其面积4故选：C【点评】本题考查椭圆的性质，判断出PF1F2是直角三角形能够简化运算11（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的右焦点为F（c，0），直线xa与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原若OAF的面积为a2，则双曲线C的离心率为（）ABCD【分析】利用OAF的面积为a2，建立方程，即可求出双曲线C的离心率【解答】解：由题意，A（a，b），OAF的面积为a2，bca2，2c23bc2b20，c2b或cb（舍去），ab，e故选：A【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题12（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它

22、们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2则（）A4B2C2D3【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，并且|F1F2|2c，F1PF2，在F1PF2中根据余弦定理可得到3a12+a224c2，结合离心率公式，计算可得所求值【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，可得|PF1|a1+a2，

23、|PF2|a1a2，设|F1F2|2c，F1PF2，在PF1F2中由余弦定理得，4c2（a1+a2）2+（a1a2）22（a1+a2）（a1a2）cos ，化简得3a12+a224c2，该式可变成+4，结合e1，e2，4故选：A【点评】本题考查椭圆及双曲线的交点，及椭圆与双曲线的定义，以及它们离心率的定义，余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出logab为整数满足的基本事件个数，由此能求出logab

24、为整数的概率【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，基本事件总数n12，logab为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，logab为整数的概率p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用14（5分）已知函数f（x）x4lnx，则曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为3x+y40【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题【解答】解：函数f（x）x4lnx，所以函数f（x）1，切线的斜率为：3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y40故答案为：3x+y40【点评】考查学生会利用

25、导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导15（5分）设椭圆1（0b5）的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b值为4【分析】设椭圆焦距为2c，由已知可得5+c2b，结合隐含条件求得b可求【解答】解：设焦距为2c，则有，解得b216，可得b4故答案为：4【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等差数列性质的应用，是基础的计算题16（5分）函数f（x）2x2lnx的单调减区间是（0，【分析】先求f（x），根据导数的符号和原函数单调性的关系，只要求f（x）0的解即可求出原函数的单调减区间【解答】解：f（x），x0，解得：，所以函数f（x）的单调减区间是（故答案是（【点评】本题用的方法是求一

26、个函数单调区间常用的方法，而容易出错的是x0这个条件三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17（10分）（1）若抛物线的焦点是椭圆+1左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）某双曲线与椭圆+1共焦点，且以y为渐近线，求此双曲线的标准方程【分析】（1）求得椭圆的左顶点，设抛物线的方程为y22px（p0），可得8，求得p，即可得到所求方程；（2）求得椭圆的焦点，设双曲线的方程为1（a0，b0），可得渐近线方程，以及a，b的方程组，解得a，b，即可得到所求双曲线的方程【解答】解：（1）椭圆+1的a8，左顶点为（8，0），设抛物线的方程为y22px（p0），可得8，解得p

27、16，则抛物线的方程为y232x；（2）双曲线与椭圆+1共焦点（，0），即为（4，0），设双曲线的方程为1（a0，b0），则a2+b248，渐近线方程为yx，可得，解得a2，b6，则双曲线的方程为1【点评】本题考查椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质，主要是焦点、顶点和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题18（12分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛（）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人

28、参加双打比赛（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率【分析】（）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得【解答】解：（）由题意可得抽取比例为，273，91，182，应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；（）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6）

29、，（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6），共15种；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）共9个基本事件，事件A发生的概率P【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题19（12分）已知关于x的一次函数ymx+n（1）设集合P2，1，1，2，3和Q2，3，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数ymx+n是增函数的概率；（2）实数

30、m，n满足条件求函数ymx+n的图象经过一、二、三象限的概率【分析】（1）本小题是古典概型问题，欲求函数ymx+n是增函数的概率，只须求出满足：使函数为增函数的事件空间中元素有多少个，再将求得的值与抽取的全部结果的个数求比值即得（2）本小题是几何概型问题，欲求函数ymx+n的图象经过一、二、三象限的概率，只须求出满足使函数图象过一、二、三象限的区域的面积，再将求得的面积值与整个区域的面积求比值即得【解答】解：（1）抽取的全部结果所构成的基本事件空间为：（2，2），（2，3），（1，2），（1，3），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）共10个基本事件（2分）设

31、使函数为增函数的事件空间为A：则A（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）有6个基本事件（4分）所以，（6分）（2）m、n满足条件m+n10，1m1，1n1的区域如图所示：使函数图象过一、二、三象限的（m，n）为区域为第一象限的阴影部分所求事件的概率为（12分）【点评】本小题主要考查古典概型、几何概型等基础知识古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，几何概型的特点有下面两个：（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个（2）每个基本事件出现的可能性相等20（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y与

32、直线l：ykx+a（a0）交于M，N两点（）当k0时，分別求C在点M和N处的切线方程（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？（说明理由）【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y，利用导数的运算法则可得：y，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程（II）存在符合条件的点（0，a），设P（0，b）满足OPMOPNM（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2直线方程与抛物线方程联立化为x24kx4a0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2k1+k20直线PM，PN的倾斜角互补OPMOPN即可证明【解答】解：（I）联立，不妨取

33、M，N，由曲线C：y可得：y，曲线C在M点处的切线斜率为，其切线方程为：ya，化为同理可得曲线C在点N处的切线方程为：（II）存在符合条件的点（0，a），下面给出证明：设P（0，b）满足OPMOPNM（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2联立，化为x24kx4a0，x1+x24k，x1x24ak1+k2+当ba时，k1+k20，直线PM，PN的倾斜角互补，OPMOPN点P（0，a）符合条件【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21

34、（12分）已知函数f（x）ax3x2（a0），x0，+）（1）若a1，求函数f（x）在0，1上的最值；（2）若函数yf'（x）的递减区间为A，试探究函数yf（x）在区间A上的单调性【分析】（1）根据导数和函数的最值的关系即可求出，（2）根据导数和函数的单调性即可求求出【解答】解：（1）依题意，f'（x）3x2xx（3x1），当时，f'（x）0，当时，f'（x）0，所以当时，函数f（x）有最小值，又，故函数f（x）在0，1上的最大值为，最小值为，（2）依题意，f'（x）3ax2x，因为（3ax2x）6ax10，所以f'（x）的递减区间为当时，f&#

35、39;（x）3ax2xx（3ax1）0，所以f（x）在f'（x）的递减区间上也递减【点评】本题考查了导数和函数的最值和单调性的关系，属于中档题22（12分）已知函数f（x）ax2+bxlnx（a，bR）（1）当a1，b3时，求函数f（x）在，2上的最大值和最小值；（2）当a0时，是否存在正实数b，当x（0，e（e是自然对数底数）时，函数f（x）的最小值是3，若存在，求出b的值；若不存在，说明理由【分析】（1）首先对f（x）求导，利用导数判断函数的单调性与函数最值即可；（2）当b0时，即导函数零点：x；所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；再分类讨论与e的关系；【解答】

36、解：（1）由题意，f（x）x2+3xlnx，定义域为：x0对f（x）求导：f'（x）2x+3，令f'（x）0，则有x1，x21；当x（0，）时，f'（x）0，则f（x）在（0，）上单调递减；当x（，1）时，f'（x）0，则f（x）在（，1）上单调递增；当x（1，+）时，f'（x）0，则f（x）在（1，+）上单调递减；所以f（x）maxf（1）2，f（x）minf（），f（2）f（）ln2+；（2）当a0时，f（x）bxlnx  （x0）对f（x）求导，即f'（x）b当b0时，令f'（x）0，即导函数零点：x；所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；（i）当e时，即：b，f（x）在（0，e上单调递减，此时最小值为f（e）由题意，f（e）3，即：b，不合题意；（ii）当e时，即：b，f（x）在（0，）上递减，在（，e）上递增；此时最小值为f（b）由题意：f（b）3，即：be2，满足题意综上：be2【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，求函数最值以及分类讨论思想的应用，属中等题