2018-2019学年广东省佛山一中、珠海一中、金山中学高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答
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1、2018-2019学年广东省佛山一中、珠海一中、金山中学高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)若复数z满足(34i)z|4+3i|,则z的虚部为()A4BC4D2(5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b0至少有一个实根”时,要做的假设是()A方程x3+ax+b0没有实根B方程x3+ax+b0至多有一个实根C方程x3+ax+b0至多有两个实根D方程x3+ax+b0恰好有两个实根3(5分)曲线yex在点A(0,1)处切线斜率为()A1B1CeD4(5分)函数y2xx2的图象大
2、致是()ABCD5(5分)由曲线y,直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()AB4CD66(5分)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”那么,下列命题总成立的是()A若f(1)1成立,则f(10)100成立B若f(2)4成立,则f(1)1成立C若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立D若f(4)25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立7(5分)如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4),此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i1,2,3,4),若k,则h1+2h2+3
3、h3+4h4类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i1,2,3,4),若K,则H1+2H2+3H3+4H4等于()ABCD8(5分)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(1)0,当x0时,xf(x)f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(,1)(0,1)B(1,0)(1,+)C(,1)(1,0)D(0,1)(1,+)9(5分)已知函数f(x)的定义域为1,5,部分对应值如下表,f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示下列关于f(x)的命题:x1045f(x)1221函数f(x)的极大
4、值点为0,4;函数f(x)在0,2上是减函数;如果当x1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a2时,函数yf(x)a有4个零点;函数yf(x)a的零点个数可能为0、1、2、3、4个其中正确命题的个数是()A4B3C2D110(5分)设函数f(x)x3+ax2+2bx+c,f(x)在xx1处取得极大值,在xx2处取得极小值,且x1(0,1),x2(1,2),则的取值范围为()A(1,4)B(,1)C(,)D(,1)11(5分)若函数f(x)xsin2x+asinx在(,+)单调递增,则a的取值范围是()A1,1B1,C,D1,12(5分)若函数f(x)axx2lnx存在极值,且
5、这些极值的和不小于4+ln2,则a的取值范围为()A2,+)BCD4,+)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为 14(5分)i为虚数单位, 15(5分)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角等于 16(5分)(理) 设ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c;则下列命题正确的是 若abc2;则C
6、若a+b2c;则C若a3+b3c3;则C 若(a+b)c2ab;则C三、解答题(共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知数列an满足a11,nan+12(n+1)an,设(1)证明:数列bn是等比数列,求an的通项公式;(2)求an的前n项和Tn18(12分)已知函数f(x)(x1)2+a(lnxx+1),其中a2(1)讨论f(x)的单调性;(2)写出f(x)的极值点19(12分)如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD为矩形,二面角ACDF为60,DECF,CDDE,AD2,DEDC3,CF6(1)求证:BF平面ADE;(2)在线段CF上求一点G,使
7、锐二面角BEGD的余弦值为20(12分)已知椭圆,离心率直线l:xmy+1与x轴交于点A,与椭圆C相交于E,F两点自点E,F分别向直线x3作垂线,垂足分别为E1,F1()求椭圆C的方程及焦点坐标;()记AEE1,AE1F1,AFF1的面积分别为S1,S2,S3,试证明为定值21(12分)已知函数f(x)lnx+() 若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;() 证明:当a,b1时,f(lnb)选修4-5:不等式选讲22(10分)已知函数f(x)|xa|+|2x1|,aR(1)当a1时,求不等式f(x)3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)|2x+1|的解集包含集合,求实数a的取值范围201
8、8-2019学年广东省佛山一中、珠海一中、金山中学高二(下)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)若复数z满足(34i)z|4+3i|,则z的虚部为()A4BC4D【分析】由题意可得 z,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 +i,由此可得z的虚部【解答】解:复数z满足(34i)z|4+3i|,z+i,故z的虚部等于,故选:D【点评】本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题2(5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b0至少有一个
9、实根”时,要做的假设是()A方程x3+ax+b0没有实根B方程x3+ax+b0至多有一个实根C方程x3+ax+b0至多有两个实根D方程x3+ax+b0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b0至少有一个实根”时,要做的假设是:方程x3+ax+b0没有实根故选:A【点评】本题考查反证法证明问题的步骤,基本知识的考查3(5分)曲线yex在点A(0,1)处切线斜率为()A1B1CeD【分析】求出函数的导数,代入x0,即可得到切线的斜率【解答】解:曲线yex,可得yex,曲线yex在点
10、A(0,1)处切线斜率为:1故选:B【点评】本题考查函数的导数的应用,切线的斜率的求法,考查计算能力4(5分)函数y2xx2的图象大致是()ABCD【分析】根据函数图象的交点的个数就是方程的解的个数,也就是y0,图象与x轴的交点的个数,排除BC,再取特殊值,排除D【解答】解:分别画出函数f(x)2x(红色曲线)和g(x)x2(蓝色曲线)的图象,如图所示,由图可知,f(x)与g(x)有3个交点,所以y2xx20,有3个解,即函数y2xx2的图象与x轴由三个交点,故排除B,C,当x3时,y23(3)20,故排除D故选:A【点评】本题主要考查了函数图象的问题,关键是理解函数图象的交点和方程的解得个数
11、的关系,排除是解决选择题的常用方法,属于中档题5(5分)由曲线y,直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()AB4CD6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键,要确定出曲线y,直线yx2的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解【解答】解:联立方程得到两曲线的交点(4,2),因此曲线y,直线yx2及y轴所围成的图形的面积为:S故选C【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题,考查学生分析问题解决问题的能力和意识,考查学生的转化与化归能力和运算能力,考查学生对定积分与导数的联系的认识,求定积分关键要找准被积函数的原函数,属于定积分的简单应用问题6(5分)设f(x
12、)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”那么,下列命题总成立的是()A若f(1)1成立,则f(10)100成立B若f(2)4成立,则f(1)1成立C若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立D若f(4)25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立【分析】“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”是一种递推关系,前一个数成立,后一个数一定成立,反之不一定成立【解答】解:对A,因为“原命题成立,否命题不一定成立”,所以若f(1)1成立,则不一定f(10)100成立;对B,因为“原命题成立,则逆否命题一定成立
13、”,所以只能得出:若f(2)4成立,则f(1)1成立,不能得出:若f(2)4成立,则f(1)1成立;对C,当k1或2时,不一定有f(k)k2成立;对D,f(4)2516,对于任意的k4,均有f(k)k2成立故选:D【点评】本题主要考查对函数性质的理解,正确理解题意是解决本题的关键7(5分)如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4),此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i1,2,3,4),若k,则h1+2h2+3h3+4h4类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i1,2,3
14、,4),若K,则H1+2H2+3H3+4H4等于()ABCD【分析】由k可得aiik,P是该四边形内任意一点,将P与四边形的四个定点连接,得四个小三角形,四个小三角形面积之和为四边形面积,即采用分割法求面积;同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积【解答】解:根据三棱锥的体积公式 VSh得:S1h1+S2h2+S3h3+S4h4V,k(h1+2h2+3h3+4h4)3V,H1+2H2+3H3+4H4等于故选:D【点评】本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力解题的关键是理解类比推理的意义,掌握类比推理的方法平面几何的许多结论,可以通过类比的方法,得到立体几何中
15、相应的结论当然,类比得到的结论是否正确,则是需要通过证明才能加以肯定的8(5分)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(1)0,当x0时,xf(x)f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(,1)(0,1)B(1,0)(1,+)C(,1)(1,0)D(0,1)(1,+)【分析】由已知当x0时总有xf(x)f(x)0成立,可判断函数g(x)为减函数,由已知f(x)是定义在R上的奇函数,可证明g(x)为(,0)(0,+)上的偶函数,根据函数g(x)在(0,+)上的单调性和奇偶性,模拟g(x)的图象,而不等式f(x)0等价于xg(x)0,数形结合解不等式组即可【解答】解:设
16、g(x),则g(x)的导数为:g(x),当x0时总有xf(x)f(x)成立,即当x0时,g(x)恒小于0,当x0时,函数g(x)为减函数,又g(x)g(x),函数g(x)为定义域上的偶函数又g(1)0,函数g(x)的图象性质类似如图:数形结合可得,不等式f(x)0xg(x)0或,0x1或x1故选:A【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,并由函数的奇偶性和单调性解不等式,属于综合题9(5分)已知函数f(x)的定义域为1,5,部分对应值如下表,f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示下列关于f(x)的命题:x1045f(x)1221函数f(x)的极大值点为0,4;函数f(x)在0,2上是
17、减函数;如果当x1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a2时,函数yf(x)a有4个零点;函数yf(x)a的零点个数可能为0、1、2、3、4个其中正确命题的个数是()A4B3C2D1【分析】由f(x)的导函数yf(x)的图象知函数f(x)的极大值点为0,4;由在0,2上导函数为负知正确;由f(x)a知,极小值f(2)未知,无法判断函数yf(x)a有几个零点,依照相应理论即可判断【解答】解:由f(x)的导函数yf(x)的图象知,函数f(x)的极大值点为0,4,故正确;因为在0,2上导函数为负,故函数f(x)在0,2上是减函数,故正确;由表中数据可得当x0或x4时,函数取最大值2
18、,若x1,t时,f(x)的最大值是2,那么0t5,故t的最大值为5,即错误;由f(x)a知,因为极小值f(2)未知,所以无法判断函数yf(x)a有几个零点,故不正确;函数f(x)在定义域为1,5共有两个单调增区间,两个单调减区间,故函数yf(x)a的零点个数可能为0、1、2、3、4个,故正确故选:B【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系二者之间的关系是:导函数为正,原函数递增;导函数为负,原函数递减10(5分)设函数f(x)x3+ax2+2bx+c,f(x)在xx1处取得极大值,在xx2处取得极小值,且x1(0,1),x2(1,2),则的取值范围为()A(1,4)B(,1)C(,
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